Föreläsning 4-5 Logik med tillämpningar

F4-5 Innehåll u Deduktiva system – Gentzensystem – Hilbertsystem u Resolution u Kapitel i Ben-Ari u Efter dagens föreläsning kan hela laboration 1 lösas.

F4-5 u Semantiska tablåer kontrollerar en given formels satisfierbarhet. Den ”uppfinner” inga nya formler och utnyttjar inte några antaganden. u En teoretiker har som uppgift att hitta på en mängd intressanta axiom, från vilka han/hon sedan kan härleda teorem.  I våra termer härleder teoretikern element ur T(U) för att hitta logiska konsekvenser av axiomen U. Definition (2.5.14) Låt T(U) = {A | U  A}. T(U) kallas teorin av U och elementen i T(U) kallas teoremen av U. Elementen i U kallas axiomen av T(U). Teorem (2.5.11) Vi har visat att A  T(U) omm (A1 ...  An)  A är valid där U = {A1,..., An}.

F4-5 Problem: u Mängden axiom behöver inte vara ändlig. u Inte alla logiska system har beslutsprocedurer för validitet som satslogiken. u En algoritm för validitet ger liten insikt i strukturen av beviset. u Vi har svårt att använda strukturen i ett bevis för att göra ett nytt bevis för en liknande formel.

F4-5 Deduktiva bevis u Välj –en mängd axiom och –en mängd regler för hur man får dra slutsaster u Slutsatser som man drar bildar teorem och beskrivningen av hur man nått teoremet kallas beviset för teoremet.

F4-5 Skillnaden mellan semantiska och deduktiva system: u Semantiska system kräver inte att vi är smarta, bevisen är mekaniska. u Deduktiva system kräver att vi planerar vårt bevis, och att vi har viss erfarenhet. De är sämre för datorer.

F4-5 Hilbert och Gentzen u Hilbert-system –har flera axiom men bara en regel. –formaliserar klassiska metoder för matematiskt resonerande u Gentzen-system –har ett axiom men många regler. –är lättare än Hilbert-system att mekanisera Blev Hilberts assistent 1934 Dog av undernäring i ryskt fångenskap ”Wir müssen wissen, wir werden wissen.” - Vi måste veta, vi ska veta.

F4-5 Gentzensystem u Brukar betecknas G och kallas även naturlig deduktion. u Använder mängder av formler, precis som de semantiska tablåerna.

F4-5 Definition (2.8.1) Systemet G består av axiom och inferensregler. Ett axiom i G är en mängd formler U innehållande ett kompletterande par av literaler. Inferensreglerna har formen och Premisser Slutsatser

F4-5

Bevis och bevisbarhet Definition (2.8.2) Ett bevis i G är en sekvens av formelmängder så att varje element antingen är ett axiom eller kan härledas från en eller två tidigare element i sekvensen med hjälp av en inferensregel. Om A är sista elementet i en sådan sekvens, så kallas sekvensen för ett bevis av A, och A är bevisbar. Notation:  A.

F4-5  ((p  q)  (  p  q))  ((p  q)  (  p  q))  ((  p  q)  (p  q)) p  q,  (  p  q)  p  q,  (p  q)  p,  (  p  q) q,  (  p  q)  p,  (p  q) q,  (p  q)  p, p,  q q, p,  q X X X X  q,  p, q p,  p, q  q, (  p  q) p, (  p  q)  q, (p  q) p, (p  q)  (p  q), (  p  q)  (  p  q), (p  q) (p  q)  (  p  q) (  p  q)  (p  q) (p  q)  (  p  q) Semantisk tablå för negationen Gentzens deduktion i trädform Gentzensystemet producerar träd som i princip är semantiska tablåer upp och ner med omvända tecken.

F4-5 Är systemet korrekt? u För att visa validitet med semantiska tablåer var vi tvungna att negera formeln och visa att den inte är satisfierbar. u Gentzensystemet gör precis detta, fast bakvägen. u Vi kan därför lätt visa att Gentzensystemet är sunt och fullständigt med hjälp av resultaten från semantiska tablåerna.

F4-5 Teorem (2.8.5) (bevisas i boken) u Låt U vara en mängd formler och låt U' vara mängden av komplementen till formlerna i U. Det finns ett bevis för U i G om det finns en stängd semantisk tablå för U'. u Specialfall: Det finns ett bevis för A i G omm den semantiska tablån för  A är stängd.

F4-5 Sundhet och fullständighet för G Teorem (2.8.6) En formel A är valid omm A är bevisbar i G. Bevis: A är valid omm  A är osatisfierbar omm den semantiska tablån för  A är stängd omm det finns ett bevis för A i G.

F4-5 Hilbertsystem u Hilbertsystemet har tre axiom och en inferensregel u Axiomen definierar en oändlig mängd axiom, eftersom A, B och C representerar godtyckliga formler. Definition (2.9.1) För godtyckliga formler A, B och C så är följande formler axiom i H:  (A  (B  A))  ((A  (B  C))  ((A  B)  (A  C))  (  B   A)  (A  B)

F4-5 Inferensregeln Definition (2.9.2) För godtyckliga formler A och B så är inferensregeln i H. Denna regel kallas för modus ponens eller MP.

F4-5 Härledda inferensregler u Vi kan utöka Hilbertsystem med s k härledda inferensregler. Vi kan då använda dessa regler precis som vi använder modus ponens. u Vi måste kunna visa att den nya regeln är sund. u Detta görs genom att visa hur ett bevis som använder den nya regeln kan transformeras till ett nytt bevis som bara använder MP.

F4-5 Antaganden (assumptions) Definition (2.9.4) Låt U vara en mängd formler och A en formel. Notationen U  A betyder att formlerna i U är antaganden i beviset av A, dvs, de kan användas precis som axiomen i bevisföringen.

F4-5 Deduktionsregeln

F4-5 Kontrapositiva regeln

F4-5 Tranisitivitets regeln Detta teorem visar att det är OK att visa ett teorem med hjälp av en serie lemman.

F4-5 Byte av antecedenter Det spelar ingen roll i vilken ordning man gör sina antaganden.

F4-5 Dubbla negeringsregeln u Vanligt resonemang i matematik. – Om inte x  y så är x = y u Kan vara lurigt att använda i dagligt tal… – ”Det är inte sant att jag inte är glad” behöver inte vara samma sak som ”Jag är glad”.

F4-5 Är Hilbertsystemet korrekt?  Sundhet: Om  A så gäller att  A. Dvs om A är bevisbar så ska A vara valid. – Visas genom att visa att axiomen är valida (med semantiska tablåer) och sedan göra ett motbevis. Vi antar att Modus Ponens inte är valid och når en motsägelse.  Fullständighet: Om  A så gäller att  A. Dvs om A är valid så ska A vara bevisbar. – Utnyttjar att vi bevisat fullständighet hos Gentzen-system och visar hur ett bevis i G transformeras till ett i H.

F4-5 Exempel u p  q  q  p  (  p  q)  (  q  p) u p  (p  q)  p   (p   (p  q))  p   (p   (  p  q))  p

F4-5 Resolution u Resolution lämpar sig ypperligt för att implementera automatisk bevissökning på dator. u Resolution är förhållandevis effektivt. u Resolution bildar den teoretiska basen för logikprogrammering.

F4-5 CNF Definition (2.10.1) En formel är i konjunktiv normalform (CNF) om den är en konjunktion av disjunktioner av literaler. (  p  q)  (  r)  (p) (  p  q)  ((p   q)   r)  (p) (  p  q)   (  r  p) Teorem (2.10.2) Alla satslogiska formler kan omvandlas till konjunktiv normalform.

F4-5 Klausul, klausulform, enhetsklausul u Klausul = mängd med literaler u Formel = mängd med klausuler u Man säger att en formel enligt ovan är i klausulform u Enhetsklausul = en klausul med endast en literal u En formel i klausulform är satisfierbar omm motsvarande CNF-formel är satisfierbar.

F4-5 Förkortad skrivform Formler i klausulform tex: (  p  q  r)  (  q  r)  (  r) skrivs som Notera att negation markeras med ett streck över symbolen.

F4-5 Transformationer av formler Definition (2.10.4) Låt S och S' vara klausulmängder. S  S' betyder att S är satisfierbar omm S' är satisfierbar. Vi kommer att titta på flera lemman där man kan transformera formlerna till en ny mängd utan att förändra satisfierbarheten.

F4-5 u I följande lemman och teorem kommer S vara klausulmängder, C klausuler och l literaler. Om l är en literal, så är l c dess komplement.  Lemma (2.10.5) Antag att en literal l finns i S, men inte l c. Låt S' vara klausalmängden där alla klausuler som innehåller l tagits bort. Då gäller S  S'.

F4-5  Lemma (2.10.6) Låt {l}  S vara en enhetsklausul. S' fås från S genom att ta bort alla klausuler innehållande l och ta bort l c från alla klausuler i S. Då gäller S  S'  Lemma (2.10.7) Om både l  C och l c  C för någon C  S, låt S' = S - {C}. Då gäller S  S'.

F4-5 Subsumering  Definition (2.10.8) Om C 1  C 2, så säger vi att C 1 subsumerar C 2, och C 2 är subsumerad av C 1.  Lemma Om C 1, C 2  S och C 1 subsumerar C 2, låt S' = S - {C 2 }. Då gäller S  S', dvs den större klausulen kan tas bort.

F4-5 Tomma mängder av klausuler u Antag S =. S är uppenbart valid, dvs de möjliga interpretationerna v(p) = T och v(p) = F satisfierar båda S.  Enligt lemma (2.10.7) så kan vi ta bort alla klausuler som innehåller kompletterande literaler utan att påverka satisfierbarheten. S' = {} = , dvs tomma mängden. u En tom klausulmängd är alltså satisfierbar.

F4-5 Tomma klausuler  Antag S = {p, }. S är ekvivalent med p   p, en formel som är uppenbart osatisfierbar.  Enligt lemma (2.10.6) kan vi ta bort en enhets- klausul och samtidigt ta bort alla komplement till literalen ur kvarvarande klausuler i S utan att påverka satisfierbarheten. Vi får då S' = {  }, där  står för den tomma klausulen. u En klausulmängd innehållande en tom klausul är alltså inte satisfierbar.

F4-5 Resolutionsregeln  Låt C 1 och C 2 vara klausuler så att l  C 1 och l c  C 2. C 1 och C 2 är då kolliderande (clashing) klausuler och de kolliderar på de kompletterande literalerna l och l c. u Klausulen C = Res(C 1, C 2 ) = (C 1 - (l})  (C 2 - (l c }) kallas för resolventen av C 1 och C 2. u C 1 och C 2 är föräldraklausuler till C.

F4-5 u Teorem ( ) Resolventen C är satisfierbar omm föräldra- klausulerna C1 och C2 är (ömsesidigt) satsifierbara. Är resolventen satisfierbar??

F4-5 Resolutionsproceduren  Låt S vara en mängd klausuler och definiera S 0 = S. Antag att vi har konstruerat S i. Välj två kolliderande klausuler C 1, C 2  S i, och låt C vara resolventen Res(C 1, C 2 ).  Om C =  kan proceduren avbrytas, eftersom S då är osatsifierbar.  Annars konstruera S i+1 = S i  {C}. Om S i+1 = S i för alla möjliga kollisioner, avbryts proceduren, S är satisifierbar.

F4-5 u Resolution är inte en beslutsprocedur för validitet, utan för satisiferbarhet. Som vi vet sedan tidigare är detta inte ett problem.  För att avgöra om formeln A är valid, så kontrollerar vi om  A är satisfierbar. Om  A inte är satisfierbar, så är A valid. u Resolution är alltså en refuteringsprocedur. u Det normala användningssättet för resolution är att använda det för teorembevisning.