KNÄCKNING STELA BALKAR INSTABILITETSFENOMENET Byggnadsmekanik gk 10.1 KNÄCKNING STELA BALKAR I detta kapitel studeras instabilitetsfenomen hos balkar som är utsatta för en stor tryckande normalkraft. INSTABILITETSFENOMENET Problem : för vilka värde för P är detta jämviktsläge stabilt ? Bollen utsätts för en liten perturbation.  Jämviktsläget är stabilt om bollen återgår till samma jämviktsläge.  Jämviktsläget är ickestabilt om bollen går till ett annat jämviktsläge. Metod : man applicerar en liten rotation och kollar om strukturen återgå till jämviktsläget

P < Pcr : stabilt jämviktsläge P > Pcr : instabilt jämviktsläge Byggnadsmekanik gk 10.2 P < Pcr : stabilt jämviktsläge P > Pcr : instabilt jämviktsläge P = Pcr : neutralt jämviktsläge Mf > Pd : balken återgår till vertikalt jämviktsläge  balken är i ett stabilt jämviktsläge Mf < Pd : balken faller ( ökar)  balken är i ett instabilt jämviktsläge. Om P ökas progressivt kommer strukturen att deformeras kraftigt när P = Pcr . Det ickestabila jämviktsläget är omöjligt att nå.

Jämförelse teori - experiment Byggnadsmekanik gk 10.3 Jämförelse teori - experiment Experimentet visar att balken börjar rotera före Pcr och kan tåla en last större än Pcr . Ett sätt att introducera imperfektioner i ekvationerna är att anta att det obelastade balken inte är vertikalt utan bildar en vinkel o med ett vertikalt linje. Balkensegenvikt försummas och Mf = 0 utan last P. Förklaringar :  om  blir för stor,  = sin gäller inte  vid ett experiment finns det alltid imperfektioner

ekv 1 ger en jämviktskurva som liknar experiment resultat. Byggnadsmekanik gk 10.4 Balken är i jämvikt om: ekv 1 ger en jämviktskurva som liknar experiment resultat.

EULER FALL 1 En olinjär teori måste användas. Byggnadsmekanik gk 10.5 EULER FALL 1 En olinjär teori måste användas. I en olinjär teori ställs jämviktsekvationer upp i det utböjda jämviktsläget. Olinjär teori : För en slank balk ger last P upphov till en böjning. Den linjära teorin (föreläsning 4) ger en homogen tryckning (N = -P) och ingen böjning (M = 0), den kan därför inte beskriva verkligheten. Linjär teori : jämviktsekvationer utan att betrakta deformationer. OBS : med jämviktsekvationer för hela balken konstateras att det inte finns några vertikala upplagskrafter i A och B.

om P < Pcr återgår balken till den raka ställningen. Byggnadsmekanik gk 10.6 Problem : man applicerar en perturbation (liten böjning) och letar efter vilken minimal last P som behövs för att hålla jämvikten (neutralt jämviktsläget). Denna last är den kritiska lasten Pcr. om P < Pcr återgår balken till den raka ställningen. om P > Pcr kommer balken att deformeras kraftigt. Lösningen är av formen Konstanter A och B bestäms genom att använda randvillkoren

Slutsats : Euler fall 1 För att få ett jämviktsläge med böjning måste Byggnadsmekanik gk 10.7 För att få ett jämviktsläge med böjning måste Slutsats : Euler fall 1 Denna lösning innebär att det finns olika värden på den kritiska lasten. Bara det lägsta värdet, vilket fås för n = 1 har fysiskt betydelse. Om P ökas progressivt kommer balken att böja sig kraftigt när P = Pcr . Det ickestabila jämviktsläget är omöjligt att nå.

EULER FALL 3 Jämviktsekvationer för hela balken Byggnadsmekanik gk 10.8 EULER FALL 3 Jämviktsekvationer för hela balken 2 ekvationer och 3 obekanta. Systemet är statiskt obestämt av grad 1. Problem : hitta Pcr , den minimala lasten som behövs för att hålla jämvikten i deformationsläget när en perturbation (liten böjning) appliceras.

3 randvillkor behövs för att bestämma A, B och YA. Byggnadsmekanik gk 10.9 3 randvillkor behövs för att bestämma A, B och YA. Homogen lösning Partikulär lösning Totala lösning

4 EULER FALLEN För att få ett jämviktsläge med böjning måste Byggnadsmekanik gk 10.10 4 EULER FALLEN För att få ett jämviktsläge med böjning måste Det minsta värdet för  (och därför P) som uppfyller ekvationen ovan är

EFFEKTIV KNÄCKNINGSLÄNGD Byggnadsmekanik gk 10.11 EFFEKTIV KNÄCKNINGSLÄNGD För Euler fall 2 Den kritiska lasten för alla 4 fallen kan uttryckas För Euler fall 1 Bägge balkar har samma Pcr för balk (1) och därför för balk (2) Den kritiska lasten för fall 2 och 4 kan bestämmas utan beräkning genom att använda resultatet för fall 1.  = 2 för Euler fall 2

 Inflexionspunkt M = 0 För Euler fall 4 Byggnadsmekanik gk 10.12 För Euler fall 4 Balkar (1) (2) och (4) har samma Pcr för balk (1) för balk (2) och därför för balk (4)  Inflexionspunkt M = 0  = 1 / 2 för Euler fall 4

Exempel 1 Kritiska laster Säkerhetsfaktorer för stängerna Byggnadsmekanik gk 10.13 Exempel 1 Kritiska laster Säkerhetsfaktorer för stängerna Problem : beräkna säkerhetsfaktorn mot knäckningen för detta fackverk Säkerhetsfaktor för fackverket Jämvikt av knutpunkt B ger

JÄMFÖRELSE TEORI - EXPERIMENT Byggnadsmekanik gk 10.14 JÄMFÖRELSE TEORI - EXPERIMENT Teorin som har används för att beräkna Pcr förutsätter :  ingen imperfektion  Experimentet visar att balken börjar böja sig före Pcr och kan tåla en last större än Pcr . Två enkla sätt att introducera imperfektionerna i ekvationerna är att anta att den obelastade balken inte är rak utan ha en sinusformad initialbojning eller att anta att lasten P inte angriper vid tvärsnittets tyngdpunkt utan med en viss excentritet.

Byggnadsmekanik gk 10.15 Denna ekvation förutsätter små deformationerna, vilket inte är fallet om P >Pcr . Teorin som vi har sett i detta kapitel ger ej deformationerna utan endast den kritiska lasten Pcr, dvs trycklasten för vilken utböjningen blir plötsligt stor. Vill man beskriva utböjningsförloppet efter Pcr kan inte approximationen EI v  = – M användas.