Föreläsning 7 Fysikexperiment 5p Poissonfördelningen Poissonfördelningen är en sannolikhetsfördelning för diskreta variabler som är mycket viktig, den dyker upp i många sammanhang där man ”räknar händelser”. Det mest använda exemplet (för att det så väl uppfyller de grundläggande antagandena som används för att härleda Poissonfördelningen) är radio- aktivt sönderfall, där antalet sönderfall under en given tid är Poissonfördelad. Possionfördelningen kan ses som ett gränsfall för binomialfördelningen (en fördelning som vi inte berör i denna kurs), då antalet försök blir mycket stort, samtidigt som sannolikheten för ett ”lyckat utfall” blir mycket litet, på så sätt att produkten hålls konstant. De grundläggande antagandena är alltså: Vi gör ”många” försök. Sannolikheten att ”lyckas” är liten. Vi undersöker en diskret variabel - antingen händer det eller också inte - och räknar antalet ”lyckade händelser”. För Poissonfördelade variabler gäller att sannoliketen att räkna lyckade händelser, är fördelad som: Poissonfördelningen har alltså endast en parameter. Notera den matematiska konstruktionen v! (v-fakultet) i formeln. Fakulteten definieras genom sambandet: Vi undersöker här nedan fördelningens egenskaper (för de matematiskt intressrade): 1 - normalisering: 2 - medelvärde: 3 - standardavvikelse: För ett stort antal försök ges standard-avvikelsen för en distribution av medelvärdet av (x- ) 2 Från Sten Hellmans föreläsning i Experimentella Metoder 2003 Vi skaffar ett uttryck för den första termen genom att derivera normaliseringsvillkoret två gånger m.a.p , och multplicera med 2 insatt i ovan fås:
Fysikexperiment 5p Föreläsning Från Sten Hellmans föreläsning i Experimentella Metoder 2003 Några exempel på Poissonfördelningar Medelvärdet behöver inte vara ett heltal Poissonfördelningarna är skeva - de sträcker sig mot den positiva sidan. Om är ett heltal så ligger max i två binnar, och -1 Ju högre blir desto mer symmetrisk blir fördelningen
Föreläsning 7 Fysikexperiment 5p Från Sten Hellmans föreläsning i Experimentella Metoder 2003 För stora kommer enveloppen av Poissonfördelningen att ges av normalfördelningen med samma medelvärde och standardavvikelse som Poissonfördelningen. En annan viktig egenskap hos Poissonfördelningar är att summan av två, eller fler, Poissonfördelade variabler också är Poissonfördelad. Detta medför att vi kan använda vår kunskap om Poissonfördelningen när vi till exempel studerar radioaktiva sönderfall med bakgrund till vår mätning.
Räknarexperiment Låt oss ta några exempel. I kapitel 3.2 i kursboken anges kvadratrotsregeln för räknarexperiment. Som ett exempel anges antalet nyfödda på ett sjukhus under en 14 dagars period. Antalet bebisar varierar av naturliga skäl under en tidsperiod men man menar att det borde finnas något slags medeltal för antalet födda under en viss tid. I detta fall räknades 14 födda under två veckor. Utifrån denna iakttagelse allena kan vi dra slutsatsen att i medeltal föds 14 barn under en tvåveckorsperiod. Vi kan dessutom säga att osäkerheten i detta medelvärde är. Det sanna medelvärdet kan alltså vara 10 eller 18 med relativt hög sannolikhet. För att noggrannare bestämma medelvärdet i ovanstående undersökning krävs naturligtvis att vi räknar antalet nyfödda under en mycket längre tidsperiod. Låt oss anta att följande antal födda har ägt rum under 6 på varandra två-veckors intervall: Totalt har det fötts 78 bebisar, dvs 13 bebisar i genomsnitt per 2-veckors intervall. Vad är nu osäkerheten i detta nya medelvärde? Om fördelningen är Poissonfördelad är osäkerheten i värdet 78 som tidigare roten ur antalet, dvs. Vi har nu ett uppskattat medelvärde för hela 12-veckors perioden som är 78 ± 9. För en 2-veckors period får vi medelvärdet 13,0 ± 1,5 ett mycket noggrannare medelvärde än det tidigare 14 ± 4. Men - notera att även om osäkerheten i medelvärdet kan göras mycket liten - kommer fluktuationerna i varje enskild 14-dagars period att vara Poissonfördelade, dvs vi kan bara förvänta oss att i 11 % av antalet 2-veckors intervall vi har exakt 13 födslar som fördelningen nedan visar. Fysikexperiment 5p Föreläsning Det märkliga med Poissonfördelningen är att i detta fall är det precis lika stor sannolikhet att det föds 12 barn - oaktat medelvärdet är 13! Visa som en enkel övning att för heltal gäller att sannolikheterna:
Föreläsning 7 Fysikexperiment 5p Från Sten Hellmans föreläsning i Experimentella Metoder 2005
Fysikexperiment 5p Föreläsning Från Sten Hellmans föreläsning i Experimentella Metoder 2005
Föreläsning 7 Fysikexperiment 5p Från Sten Hellmans föreläsning i Experimentella Metoder 2005
Föreläsning 7 Fysikexperiment 5p Från Sten Hellmans föreläsning i Experimentella Metoder 2005 Några kommentarer till Chi-kvadrat- testet. För en given procentsats så ökar 2 när antalet frihetsgrader ökar. Detta är lätt att förstå, eftersom vi förväntar oss att varje oberoende mätpunkt skall bidraga med 1 till totala 2. Detta faktum ger oss anledning att definiera en ”reducerad 2 variabel” eller 2 per frihetsgrad genom att dividera 2 med antalet frihetsgrader. Som framgår av figuren är kurvor med konstant sannolikhet inte riktigt flat som funktion av n. Det är därför nödvändigt att konsultera tabeller med sannolikhet som funktion av reducerad 2 och antalet frihetsgrader även om man använder denna variabel.
Fysikexperiment 5p Föreläsning Från Sten Hellmans föreläsning i Experimentella Metoder 2005
Föreläsning 7 Fysikexperiment 5p Från Sten Hellmans föreläsning i Experimentella Metoder 2005
Fysikexperiment 5p Föreläsning Från Sten Hellmans föreläsning i Experimentella Metoder 2005
Föreläsning 7 Fysikexperiment 5p Från Sten Hellmans föreläsning i Experimentella Metoder 2005
Fysikexperiment 5p Föreläsning Från Sten Hellmans föreläsning i Experimentella Metoder 2005