Grundlägande statistik,ht 09, AN1 F5 Kombinatorik (KW 1.6) Ex.: På en matsedel finns tre förrätter, två huvudrätter och två efterrätter. På hur många olika sätt kan en trerätters måltid komponeras? Svar: Illustration: Träddiagram

Grundlägande statistik,ht 09, AN2 F5 Kombinatorik (forts) Man ska utföra k st operationer. Den första kan utföras på n1 sätt, den andra på n2 sätt o.s.v. Multiplikationsprincipen: Totala antalet sätt att utföra de k operationerna i tur och ordning är: n1 × n2 × … × nk

Grundlägande statistik,ht 09, AN3 F5 Kombinatorik (forts.) n olika element kan permuteras (ordnas) på n·(n-1)·(n-2)·,,,·3·2·1=n! olika sätt. n! kallas ”n-fakultet” 1! = 1 2! = 2·1 = 2 etc. Man definierar 0! = 1

Grundlägande statistik,ht 09, AN4 F5 Kombinatorik (forts.) Ordnade delmängder En mängd består av N element, av dem väljer vi n. Antalet ordnade delmängder är N·(N-1) ·,,, ·(N-(n-1)) Kan skrivas som T ex N=5. Vi kan då välja n=3 av dem på 5·4·3 = 60 olika sätt. Om vi inte tar hänsyn till ordningen blir antalet sätt Detta kallas kombinationer och skrivs som uttalas ”N över n”

Grundlägande statistik,ht 09, AN5 F5 Räkneregler för väntevärde och varians Antag att vi vet väntevärde och varians för slumpvariabeln X. Vi definierar en ny slumpvariabeln Y som är en linjär funktion av X. Om Y = a + b·X, så gäller att E(Y) = E(a + b·X) = a + b·E(X) Var(Y) = Var(a + b·X) = b²·Var(X) Ex. X är temp. mätt i grader Celsius. Y är temp. mätt i grader Fahrenheit Då gäller att Y = 9/5·X+32 E(Y)=? Var(Y)=?

Grundlägande statistik,ht 09, AN6 F5 Väntevärde och varians för summor mm. X och Y är två stokastiska variabler. E(X + Y) = E(X) + E(Y) E(X – Y) = E(X) – E(Y) Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X, Y) Var(X – Y) = Var(X) + Var(Y) – 2Cov(X, Y) Specialfall: X och Y okorrelerade. Då är Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) Var(X – Y) = Var(X) + Var(Y) OBS om X och Y oberoende så är de också okorrelerade, dvs Cov = 0.

Grundlägande statistik,ht 09, AN7 F5 Kontinuerliga stokastiska variabler En kontinuerlig stokastisk variabel kan anta alla värden i ett intervall. Sannolikhetsfördelningen för en kontinuerlig slumpvariabel, X, beskrivs genom en s.k. en funktion f(x), som brukar kallas täthetsfunktion. f(x) ≥ 0 för alla x. Hela ytan under f(x) är lika med 1. P(a ≤X ≤ b) = ytan under f(x) mellan a och b. P(X=a) = 0. (Ytan över en punkt är lika med 0.) Slutna, halvöppna och öppna intervall har samma sannolikhet. Dvs. P(a ≤X ≤ b)= P(a <X ≤ b) = P(a ≤X < b) = P(a < X < b)

Grundlägande statistik,ht 09, AN8 F5 Normalfördelningen Vad vi i praktiken behöver veta om normalfördelningens egenskaper är · fördelningen bestäms helt av μ och σ. · utfallsrummet är hela talaxeln. · fördelningen är symmetrisk kring μ. Svår att härleda men enkel att hantera Många fördelningar kan approximeras med normalfördelningen, t ex binomialfördelningen när n är stort Detta bygger på centrala gränsvärdessatsen.