Felkalkyl Ofta mäter man inte direkt den storhet som är den intressanta, utan en grundläggande variabel som sedan används för att beräkna det som man är intresserad av. Se till exempel på hur det går till när polisen från en helikopter kontrollerar hastigheten hos bilar på marken. Det gör de genom att markera en känd sträcka, t ex en kilometer på vägen och sedan med tidtagarur mäta hur lång tid det tar för bilen att åka mellan märkena. Hastigheten beräknas sedan genom formeln: Det intressanta här är ju hastigheten, inte tiden som är det som egentligen mäts. Mätningen av tiden är ju som alla andra mätningar behäftad med en viss osäkerhet. Det intressanta är nu hur vi skall översätta denna osäkerhet till en osäkerhet i den intressanta storheten, dvs hastighet. hastighet tid medelvärdet för tid svarar mot medelvärdet för hastighet Medelvärdet för tiden, t medel, är också det vanligaste värdet för tiden. Den hastighet som svarar mot t medel blir också den vanligaste hastigheten, och medelvärdet av hastigheten. Alla tider svarar genom funktionssambadet mot en bestämd hastighet, tiden tmedel + Dt svarar mot hastigheten hmedel + Dhastighet.

hastighet tid medelvärdet minus en sigma för tiden svarar mot medelvärdet plus en sigma för hastigheten. Om sambandet mellan den variabel man mäter och den storhet man är intresserad av inte är en rät linje så gör man en approximation: Tangenten till kurvan i en punkt kallas dess riktningskoefficient. Y X Av beräkningstekniska skäl väljer man att istället för att följa kurvan följa riktningskoefficienten när man går från t ex X + DX för att komma till Y + DY Y + DY X + DX

Felkalkyl med mer än en variabel: Anledningen att man gör det är att det finns ett matematiskt uttryck för riktningskoefficienten som ofta är ganska enkelt att beräkna. Riktningskoefficienten gör det också enkelt att beräkna hur stor förändring i y som blir följden av en förändring i x, det är i själva verket definitionen på riktningskoefficienten. Det matematiska uttrycket för riktiningskoefficienten kallas derivata, och skrivs t ex vilket man läser ut - “derivatan av y med avseende på x” överkurs Vi kan alltså skriva DY = k · DX, där k är riktningskoefficienten, eller om vi uttrycker det med derivator: Felkalkyl med mer än en variabel: Många gånger är den storhet vi är intresserade av en variabel av mer än en mätt storhet. Ett exempel är när vi mäter bredd och höjd för att beräkna arean: h b En osäkerhet i bredden, Db, kommer då att ge en osäkerhet i arean som ges av DAb = ± h · Db Db h b

En osäkerhet i höjden, Dh, kommer då att ge en osäkerhet i arean som ges av DAh = ± b · Dh Men i själva verket måste vi ta hänsyn både till osäkerheten i h och i b: h Dh b Db En möjlig formel för den sammanlagda osäkerheten är DA = DAh + DAb Tänker vi efter en stund inser vi att den formeln inte är riktigt rimlig: det DA som svarar mot en standardavvikelse är den osäkerhet vi får i arean om både b och h samtidigt fluktuerar med en standardavvikelse. Men vi vet att sannolikheten att b skall fluktuera med en standardavvikelse uppåt är cirka 16% och det samma gäller för h. Sannolikheten att de bägge skall göra det - under förutsättning att mätningarna är oberoende av varandra - är alltså mycket lägre än så: i själva verket ges den av 0.16 i kvadrat. Man kan visa (görs ej i denna kurs) att det uttryck som ger en korrekt uppskattning av felet i A är kvadratroten ur summan av kvadraterna på de enskilda bidragen (denna konstruktion kallas ofta “kvadratsumma”):

Vi ser att i analogi med vårt första exemepel med hastighetsmätningen så ges t ex DAh av Dh gånger riktningskoefficienten för arean som funktion av h, så vårt uttryck för felet i arean är ett specialfall av den mer allmänna regeln: Om den storhet man är intresserad av är en funktion av fler än två variabler, så fyller man bara på i rotuttrycket, en term för varje variabel. Detta är den allmänna formeln för felpropagering som alltid är applicerbar. För att kunna använda den och beräkna osäkerheten i den storhet vi söker måste vi alltså dels ha en uppskattning av osäkerheten i de variabler vi verkligen mäter, dels kunna bestämma riktningskoefficienterna för funktionsuttrycket map på dessa. Inom matematiken har man utvecklat begreppet derivata, som är just riktningskoefficienten för en funktion med avseende på en viss variabel, utnyttjar man detta får vi följande uttryck för felpropageringsformeln: I den här kursen ingår inte att kunna beräkna derivator för alla tänkbara funktioner, men det är viktigt att känna till att det går, och att det finns en metod som är allmängiltig. Vi måste dock känna till två specialfall: 1 - för samband som är enkla summor eller differenser av variablerna så ger felfortplantningsformeln att felet i den beräknade storheten ges av kvadratsumman av felen i de ingående termerna. Exempel: 2 - för samband som är produkter och divisioner så ger felfortplantningsformeln att det relativa felet i den beräknade storheten ges av kvadratsumman av de relativa felen i den ingående termerna. Exempel:

En viktig konsekvens av dessa formler är att För uttryck av typen 1 ovan kan det totala felet i den storhet vi är intresserade av aldrig bli mindre än det största totala felet För uttryck av typen 2 ovan kan det relativa felet i den storhet vi är intresserade av aldrig bli mindre än det största relativa felet. Ett exempel på ett uttryck av typen 2 ovan är resistensen i laboration 1, ni mätte ström I och spänning U, för att kunna beräkna resistensen R som R=U/I. Ni hade pga av instrumentens nogrannhet en osäkerhet i både ström och spänningsmätningen, DI och DU. Dessa kan användas för att beräkna en förväntad osäkerhet i R, DR. Vi har nu fått två sätt att beräkna osäkerheten i våra mätningar av Resistensen: vi kan antingen göra många mätningar och se hur resultaten fördelar sig. Variansen i den fördelningen ger oss ett mått på osäkerheten i bestämmningen av R. Vi kan å andra sidan bestämma osäkerheten i de mätta variablerna och beräkna den förväntade osäkeheten i R. Den senare metoden kan alltså användas även om vi bara gör en enstaka mätning, förutsatt att vi på något tillförlitligt sätt kan uppskatta osäkerheten i de ingående storheterna ( I och U i exemplet ovan) Om våra uppskattningar av osäkerheten i de ingående storheterna är riktiga så skall de bägge metoderna ge identiska resultat efter ett stort antal mätningar, detta ger oss en möjlighet att kontrollera rimligheten i våra beräkningar.