Föreläsning 2 21 jan 2008

Laplacetransform Laplacetransformen av en funktion existerar om är integrerbar på för alla och om har exponentiell ordning (då ) dvs om det finns konstanter sådana att

Ex. Funktionen saknar Laplacetransform

skall emellertid betraktas som en funktion av en komplex variabel I föregående exempel (då ) får vi då så Laplacetransformen av existerar för och är då

Ex.

Fler elementära transformer

Några viktiga egenskaper

T.ex.

Entydighet Om i något halvplan så är i alla kontinuitetspunkter En funktion kan (åtminstone teoretiskt) återfås från dess Laplacetransform med inversionsformeln I praktiken används dock inte denna formel. Vi kommer istället träna oss på att genom omskrivningar känna igen (utifrån kända egenskaper och elementära transformer) vilken funktion som har en viss given Laplacetransform.

Ex. Från tabell avläser vi att Tillsammans med räkneregel får vi då att

Lösning av ODE med Laplacetransform Ex. Laplacetransformering av båda led i ekvationen ger Använder vi begynnelsevillkoren och löser ut så får vi

Partialbråksuppdelning ger sedan att och med hjälp av våra tabeller finner vi att Entydighetssatsen ger att detta är lösningen för

Schematisk bild över transformidén Enklare att lösa än det ursprungliga systemet t.ex. övergår en differentialekvation i till en algebraisk ekvation i

System av differentialekvationer Ex. Antag att och att Laplacetransformering ger

Löser vi detta ekvationssystem m.a.p. och så får vi Med hjälp av våra tabeller avläser vi sedan att Vilket alltså är lösningarna på systemet för

Laplacetransform av impulsfunktion För att ta Laplacetransformen av impulsfunktionen så modifierar vi definitionen så att där betyder att man skall ta gränsvärdet då från vänster (dvs för ) Egenskaperna hos impulsfunktionen ger då att

Lösning av ODE med impulsfunktion Ex. Låt oss använda Laplacetransformation för att beräkna impulssvaret till systemet Med får vi så och därmed

Givet indata (dvs en kraft ) så får vi därmed en elegant formel som beskriver utdata (dvs kroppens avikelse från jämviktsläget) Detta alternativa sätt att beskriva systemet (med integral istället för med en differentialekvation) är dock i praktiken inte så användbart för att beräkna utdata (som man kanske skulle kunna tro) utan är mer av teoretiskt intresse.

Laplacetransform av faltning Faltningen av två funktioner och definieras som Man kan visa att Laplacetransformen av en sådan faltning är produkten av de ingående funktionernas Laplacetransformer dvs Om är ett LTI-system så är och det följer speciellt att Där är Laplacetransformen av impulssvaret

Laplacetransformen av impulssvaret kallas för systemets överföringsfunktion (pga. ) Om systemet beskrivs av en differentialekvation av typen Så kommer överföringsfunktionen att vara en rationell funktion i Den är ett viktigt verktyg för att studera systemets egenskaper. T.ex. är systemet asymptotiskt stabilt om alla nollställen till nämnaren i (dvs det karakteristiska polynomet) har negativ realdel.