2017-04-03 FL4 732G70 Statistik A Detta är en generell mall för att göra PowerPoint presentationer enligt LiUs grafiska profil. Du skriver in din rubrik, namn osv på sid 1. Börja sedan skriva in din text på sid 2. För att skapa nya sidor, tryck Ctrl+M. Sidan 3 anger placering av bilder och grafik. Titta gärna på ”Baspresentation 2008” för exempel. Den sista bilden är en avslutningsbild som visar LiUs logotype och webadress. Om du vill ha fast datum, eller ändra författarnamn, gå in under Visa, Sidhuvud och Sidfot. Linköpings universitet

Exempel tvådimensionell sannolikhetsfördelning 2017-04-03 Exempel tvådimensionell sannolikhetsfördelning En viss typ av maskin består av 2 komponenter. Varje komponent kan ha 0, 1, 2 eller 3 fel vardera. X = antalet fel på komponent 1 1 2 3 p(y) 0.41 0.12 0.02 0.01 0.56 0.10 0.11 0.03 0.26 0.05 0.00 0.08 p(x) 0.58 0.33 0.06 1.00 Y = antalet fel på komponent 2 Linköpings universitet

Linjära kombinationer av två slumpvariabler (generella fallet) 2017-04-03 Linjära kombinationer av två slumpvariabler (generella fallet) Vi är intresserade av relationen aX + bY + c där X och Y är slumpvariabler och a, b och c är konstanter. Då gäller E(aX + bY + c) = aE(X) + bE(Y) + c Var(aX + bY + c) = a2Var(X) + b2Var(Y) + 2abCov(X, Y) Linköpings universitet

Linjära kombinationer av slumpvariabler 2017-04-03 Linjära kombinationer av slumpvariabler Om vi studerar en summa av två slumpvariabler förenklas formlerna till Om variablerna är okorrelerade, dvs Cov(X, Y) = 0, förenklas formlerna för summa av slumpvariabler till Linköpings universitet

2017-04-03 Slumpvariabler Diskret kvantitativ variabel = variabel som endast kan anta endast heltalsvärden. Exempel: antal anställda Diskreta slumpvariabler åskådliggörs i stolpdiagram. Kontinuerlig kvantitativ variabel = kan mätas med många decimalers noggrannhet Exempel: en persons längd Kontinuerliga slumpvariabler åskådliggörs med en mjuk kurva. Linköpings universitet

2017-04-03 Normalfördelningen En mycket viktig kontinuerlig fördelning, därför att den väldigt ofta återkommer i statistiska beräkningar och spelar en mycket stor roll inom statistiken. Normalfördelningen är symmetrisk kring sitt väntevärde, 0 i detta fall Den funktion som beskriver normalfördelningen. Behöver inte kunnas! Linköpings universitet

2017-04-03 Exempel Vi har under en längre tid studerat dagskassorna i en butik. Resultatet åskådliggöres i följande histogram. Vi bestämmer den genomsnittliga dagskassan till 9900 kr och standardavvikelsen till 1200 kr. Vad är sannolikheten för att butiken en slumpmässigt vald dag har en dagskassa understigande 7800 kr? Linköpings universitet

Population och stickprov 2017-04-03 Population och stickprov Population: en på logisk väg definierad grupp av enheter som vi önskar dra slutsatser om. Stickprov: slumpmässigt urval av enheter ur populationen.  = populationsmedelvärde (okänd sanning som vi önskar finna) = stickprovsmedelvärde Vilken relation gäller mellan populationsmedelvärdet och stickprovsmedelvärdet? Frågan kan besvaras genom att studera sannolikhetsfördelningen för stickprovsmedelvärden. Linköpings universitet

2017-04-03 Exempel Vi studerar ett företag med 100 anställda, och är intresserade av den genomsnittliga månadslönen. Baserat på företagets löneavdelnings statistik bestämmer vi populationsmedellönen till = 21889 kr Linköpings universitet

Histogram över lönefördelningen bland alla företagets 100 anställda 2017-04-03 Histogram över lönefördelningen bland alla företagets 100 anställda Vi noterar att lönefördelningen inte är normalfördelad! Linköpings universitet

Urvalsfördelning för 20 stickprovsmedelvärden 2017-04-03 Urvalsfördelning för 20 stickprovsmedelvärden Linköpings universitet

Urvalsfördelning för 50 stickprovsmedelvärden 2017-04-03 Urvalsfördelning för 50 stickprovsmedelvärden Linköpings universitet

Urvalsfördelning för 10000 stickprovsmedelvärden 2017-04-03 Urvalsfördelning för 10000 stickprovsmedelvärden Linköpings universitet

Centrala gränsvärdessatsen 2017-04-03 Centrala gränsvärdessatsen Summan eller medelvärdet av n oberoende slumpvariabler med samma fördelning är ungefär normalfördelad om n är tillräckligt stort Summor och medelvärden beräknade på stora stickprov blir approximativt normalfördelade oavsett populationens fördelning Linköpings universitet

Relation mellan populationsmedelvärde och stickprovsmedelvärde 2017-04-03 Relation mellan populationsmedelvärde och stickprovsmedelvärde Linjära kombinationer av normalfördelade variabler är normalfördelade. Om X ~ Nf(; ) så gäller för medelvärdet att Om X ~ Nf(; ) så gäller för summan S = X1+X2+…+Xn att Linköpings universitet

2017-04-03 Exempel 509 sidan 132 Den tid en viss typ av ljus brinner är normalfördelad med medelvärdet 200 minuter och standardavvikelsen 3 minuter. Man tänder 4 ljus. Vad är sannolikheten att a) Ljusen i genomsnitt brinner mer än 203 minuter? b) Ljusen sammanlagt brinner mer än 812 minuter? Linköpings universitet

Normalapproximation av binomialfördelningen 2017-04-03 Normalapproximation av binomialfördelningen Om X ~ Bi(n, ) och så kan vi approximera binomialfördelningen med normalfördelningen enligt Syfte: underlätta beräkningar som annars skulle bli mycket tunga, till och med för miniräknaren eller datorn. Linköpings universitet

2017-04-03 Exempel Baserat på marknadsandelar vet vi att 20% av konsumenterna föredrar vårt företags produkt. Vad är sannolikheten att av 70 slumpmässigt utvalda konsumenter högst 20 väljer vår produkt? Antaganden som måste vara uppfyllda för binomialfördelning: Vi har gjort ett stickprov från en stor population Det är ett rimligt antagande att marknaden är stor. Alla observationer är oberoende av varandra Eftersom vi slumpmässigt valt ut konsumenter är detta rimligt. Varje observation kan bara anta två värden Antingen väljer en konsument vår produkt, eller också inte. Sannolikheten för ett visst utfall är hela tiden densamma Givet att populationen är stor och vi har gjort ett slumpmässigt urval är det rimligt. Linköpings universitet

2017-04-03 Linköpings universitet