Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1200 Differentialekvationer och transformer 29 april 2002 5B1200 Differentialekvationer och transformer I,

En presentation över ämnet: "Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1200 Differentialekvationer och transformer 29 april 2002 5B1200 Differentialekvationer och transformer I,"— Presentationens avskrift:

1 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1200 Differentialekvationer och transformer 29 april 2002 5B1200 Differentialekvationer och transformer I, 4 poäng Föreläsning 5 Plana autonoma system och stabilitet

2 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1200 Differentialekvationer och transformer 29 april 2002 Plana autonoma system 4 10.1 Inledande teori – Plana autonoma system – Kritiska punkter – Periodiska lösningar 4 10.2 Stabilitet hos linjära system – Klassifikation av kritiska punkter 4 10.3 Linjärisering och lokal stabilitet

3 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1200 Differentialekvationer och transformer 29 april 2002 Autonoma system 4 Ett plant autonomt system har formen dvs fortsättningen beror bara p ₢ tillst ₢ ndet (x,y) hos systemet.

4 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1200 Differentialekvationer och transformer 29 april 2002 Kritiska punkter 4 En kritisk punkt (x 0,y 0 ) svarar mot en konstant lösning (x(t),y(t))=(x 0,y 0 ). 4 De kritiska punkterna är lösningar till

5 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1200 Differentialekvationer och transformer 29 april 2002 Periodiska lösningar 4 Ett autonomt system kan ha periodiska lösningar 4 I övrigt kan inte lösningskurvor skära sig själva eller varandra.

6 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1200 Differentialekvationer och transformer 29 april 2002 Riktningsfält 4 Ett autonomt system kan ses med hjälp av ett vektorfält, eller riktningsfält.

7 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1200 Differentialekvationer och transformer 29 april 2002 Fasporträtt 4 Bilder av ett antal lösningskurvor i fasplanet bildar ett fasporträtt.

8 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1200 Differentialekvationer och transformer 29 april 2002 Klassifikation 4 Det finns några viktiga typer av kritiska punkter – Instabil nod – Stabil nod – Instabil spiral – Stabil spiral – Centrum – Sadelpunkt

9 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1200 Differentialekvationer och transformer 29 april 2002 Instabil nod 4 Riktningsfält och fasporträtt av en instabil nod

10 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1200 Differentialekvationer och transformer 29 april 2002 Stabil nod 4 Riktningsfält och fasporträtt av en stabil nod.

11 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1200 Differentialekvationer och transformer 29 april 2002 Stabil spiral 4 Riktningsfält och fasporträtt av en stabil spiral.

12 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1200 Differentialekvationer och transformer 29 april 2002 Instabil spiral 4 Riktningsfält och fasporträtt av en instabil spiral.

13 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1200 Differentialekvationer och transformer 29 april 2002 Centrum 4 Riktningsfält och fasporträtt av ett centrum.

14 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1200 Differentialekvationer och transformer 29 april 2002 Sadelpunkt 4 Riktningsfält och fasporträtt av en sadelpunkt.

15 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1200 Differentialekvationer och transformer 29 april 2002 Lokal stabilitet 4 En kritisk punkt P är stabil om en lösningskurva stannar nära P om den väl kommit tillräckligt nära P. 4 En kritisk punkt P är instabil om en lösningskurva kan lämna P oavsett hur nära P den kommit.

16 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij 5B1200 Differentialekvationer och transformer 29 april 2002 4 Sats 10.3. För ett autonomt system x'=g(x) med Jacobian J=g'(x) gäller att – En kritisk punkt x 0 är stabil om alla egenvärden till J(x 0 ) negativ realdel. – En kritisk punkt är instabil om något egenvärde till J(x 0 ) har positiv realdel. Stabilitetssats