Matematisk statistik och signal-behandling - ESS011 Föreläsning 3 Igor Rychlik 2015 (baserat på föreläsningar av Jesper Rydén)

En presentation över ämnet: "Matematisk statistik och signal-behandling - ESS011 Föreläsning 3 Igor Rychlik 2015 (baserat på föreläsningar av Jesper Rydén)"— Presentationens avskrift:

1 Matematisk statistik och signal-behandling - ESS011 Föreläsning 3 Igor Rychlik 2015 (baserat på föreläsningar av Jesper Rydén)

2 Tillämpningar av Bayes formel
1) Satsen om total sannolikhet 2) Bayes formel 3) Oddset 4) Uppdatering av oddset

3

4

5

6

7 Stokastiska variabler, fördelningar Del I
Definition av stokastisk variabel och dess fördelning Diskreta fördelningar, Kontinuerliga fördelningar Väntevärden och varianser

8 Stokastisk variabel (s.v.)
Resultatet av ett slumpmässigt försök utgörs av ett enda tal. Definition. En stokastisk variabel är en funktion definierad på ett utfallsrum. Betecknas vanligen med stora bokstäver i slutet av alfabetet; X, Y, S, T, U, etc.

9 Två typer av fördelningar
DISKRET fördelning. Viktiga exempel: Binomial- och Poisson m.fl. Lämplig modell för slumpmässiga fenomen av typen ”räkna hur många” KONTINUERLIG fördelning. Viktiga exempel: Normalfördelning, exponential, m.fl. Lämplig modell för slumpmässiga fenomen som varierar kontinuerligt (längd, tid, kraft, )

10 Använda stokastiska variabler?
DISKRET fördelning. Y = ’’ Antalet studenter som klarar en viss tenta ’’. Beräkna P(Y > 50), P( Y = 63). KONTINUERLIG fördelning. T = ”Väntetiden i en kö”. Beräkna P(3.2 < T < 5.5), P(T > 10).

11 Fördelningsfunktion Låt a och b vara godtyckliga tal sådana att
Oförenliga händelser: med union Kolmogorovs axiom ger nu att varav följer

12 Fördelningsfunktion

13 Egenskaper

14 Regn i Venezuela Maiquetia Airport Mätningar 1951-1998
Maximal daglig neder- börd (mm)

15 Regn i Venezuela Blå kurva: Anpassad fördeln.fkn.
efter en viss familj. (kontinuerlig s.v.) Grön kurva: Observationerna, s.k. empirisk fördeln.fkn.

16 Diskret s.v. Sannolikhetsfunktionen, viktigt hjälpmedel:

17 Exempel: Diskret s.v. X Situation: Modell:
Man sänder 2 meddelanden, det finns en chans att dessa inte kommer fram. Modell: s.v. X = ”Antal feldistribuerade meddelanden”. Möjliga värden: X=0, X=1, X=2. Av erfarenhet vet man att P(X=0)=0,7, P(X=1)=0,2, P(X=2)=0,1. Sannolikhetsfunktionen för X.

18 Kontinuerlig s.v. Täthetsfunktionen, viktigt hjälpmedel::

19 Likformig fördelning

20 Likformig fördelning

21 Läges- och spridningsmått för s.v.
Deskriptiv statistik: lägesmått som t.ex. medelvärde och spridningsmått som t.ex. standardavvikelse. Dessa beräknas från observerade data. Fördelningar, s.v.: finns motsvarigheter till ovanstående mått. Dessa beräknas från fördelningsfunktionen eller dess mot-svarigheter (sannolikhets-, täthetsfunktion).

22 Väntevärde för s.v.

23 Varians för s.v.

24 Väntevärden och varianser
Givet en fördelning kan väntevärde och varians räknas fram (summering/integrering) För de vanligaste fördelningarna finns dessa framräknade en gång för alla Ofta kan väntevärde och varians uttryckas i termer av de parametrar som ingår i fördelningen

25 Normalfördelning, Gaussisk fördeln.
THE NORMAL LAW OF ERROR STANDS OUT IN THE EXPERIENCE OF MANKIND AS ONE OF THE BROADEST GENERALIZATIONS OF NATURAL PHILOSOPHY * IT SERVES AS THE GUIDING INSTRUMENT IN RESEARCHES IN THE PHYSICAL AND SOCIAL SCIENCES AND IN MEDICINE AGRICULTURAL AND ENGINEERING IT IS AN INDISPENSABLE TOOL FOR THE ANALYSIS AND THE INTERPRETATION OF BASIC DATA OBTAINED BY OBSERVATION AND EXPERIMENT W.J. Youden (1955)

26 Normalfördelning: definition
En kontinuerlig s.v. X sägs vara normalfördelad om täthetsfunktionen är på formen Beteckning: Lägg märke till: