Fördelning på olika energinivåer

En presentation över ämnet: "Fördelning på olika energinivåer"— Presentationens avskrift:

1 Fördelning på olika energinivåer
Vi anta vi har 2 energinivåer i ett system, kopplad till en värmereservoar med inre energi U. 2 atomer kan fördela sig på dessa nivåer. Låg energi, låg entropi Hög energi, hög entropi Värme- reservoar Värme- reservoar E E Hur troliga är dessa fördelningar ?

2 Fördelning av en atom på olika energinivåer
För ökningen a v system- energin E måste U av reservoaren sjunker. N ändras inte 0 vid konstant volym

3 Hur stor är Z ? Boltzmann-fördelningen
Z kallas tillståndssumma (“Zustandssumme”)

4 I fallet av flera tillstånd på samma energinivå (degenererat system)
Troligheten att hamna i högre energitillståndet blir högre med en faktor 3 g = Grad av degeneration

5 Stora tillståndssumman
Förhållande av troligheterna att finna en partikel i tillstand 1 och 2 är : Om antalet av partikler i systemet ändras, gäller: vid konstant volym

6 Analog till förut: Stora tillståndssumman “Gibbs-faktor”

7 Genomsnittliga energin av ett system
När antalet av partikler är konstant: …ett enkelt sätt att beräkna genomsnittliga energin från Z

8 Medelvärde för ett vilkorligt egenskap
Vid konstant N Vid variabel N

9 Genomsnittliga antalet partikler
i ett öppet system När antalet av partikler är inte konstant änvänds stora tillståndssumman: g=1 vid alla energinivåer

10 Exempel: paramagnetism
Vi antar 1 paramagnet i ett fält. Det finns 2 olika tillstand, 1 med parallel och 1 med antiparallel utriktning. B E = mB E = -mB parallel utriktning antiparallel = =

11 Frihetsgrader i en molekyl
konstant x storlek2 När bcq2 är liten För varje frihetsgrad är genomsnittliga energin kT/2.

12 Obs! Det gäller bara när bcq2 är liten, så kT>>cq2
Vid translations- energin är det generellt fallet. Vid rotations- och vibrationsenergin är det oftast inte så hos låga T. Det är inte längre möjligt att lagra energin i dessa frihetsgrader. Frihetsgraden “fryser ut”. Molara värmekapacitet av H2

13 Tillståndssumma med flera atomer Om man antar 2 olika partklar som inte interagera med varandra så har man för varje tillstånd av partikel gäller för tillståndssumman: I fallet av två lika partiklar är det ingen skillnad om partikel 1 har tillstånd A oh partikel 2 har tillstand B eller tvärtom. Därför gäller: För N lika partiklar får man:

14 Bose-Einstein och Fermi-Dirac statistiken
Vi anta att vi ha 9 tillstånd och 6 partikler (för alla g(En) =1): Alla tillstånd få ta upp hur många partikler som helst Varje tillstånd få ta upp max 1 partikel Bose-Einstein statistik Fermi-Dirac statistik

15 Vi betraktar 1 tillstånd som system i en Fermi-Dirac fördelning.
Troligheten att der finns n partikler i den: vid g=1 Det finns bara n = 0, 1 Medelvärde beräknas som följer: n = 0, 1

16 Vid 0<t<<1 blir det
Vid Bose-Einstein fördelning: Vid 0<t<<1 blir det

17 Dessvidare gäller för tillståndssumman

18 =

19 Jämnförelse av Bose-Einstein och Fermi-Diracstatistiken
- För partikler med halvtalig spin. - Vid hög e blir värdet 0 - Vid mycket lågt e blir värdet 1 - För partikler med heltalig spin - Vid hög e blir värdet 0 - Vid e ~ m gar värdet mot oändligt Vid ett mycket lågt m och tillräcklig e : Maxwell-Boltzmann-statistiken

20 Grafiskt bild Maxwell-Boltzmann Bose-Einstein Fermi-Dirac