Speciell relativitetsteori

En presentation över ämnet: "Speciell relativitetsteori"— Presentationens avskrift:

1 Speciell relativitetsteori
Elektromagnetisk kraft Relativ rörelse Tidsdilatation Relativistisk rörelsemängd, kraft och energi Fyrdimensionell rum-tid och fyr-vektorer Lorentz koordinattransformationer Magnetiska kraftens ursprung – den relativistiska effekten

2 Parallella ledare Magnetisk kraft mellan två strömelement Strömelement
Fm Strömelement q är laddning v är elektronernas hastighet

3 Parallella elektronstrålar
För fria laddningar tillkommer elektrisk kraft. fe v v’ fm R e- Kraft på en elektron erhålls via summering av alla parvisa krafter.

4 Ett par elektroner med samma hastighet
fm fm fe fe v v Elektrisk kraft Magnetisk kraft Vilken är elektronens fart i en ledare? Hur stor är magnetiska kraften jämfört med den elektriska? Notera att v < c Total kraft

5 Inductive Force - Lab A 2 1 From observation one concludes the force on a charge q2 in conductor number 2 due to a current element I1dL1 in conductor nr 1 R is a line segment in the direction of current Current density Cross sectional area A current element Weber 1846 (shown later)

6 Magnetic Energy – definition of Inductance
Battery does work against the inductive force R Consider an infinitesimal charge dq in the conductor i Energy change is with inductance Energy change in terms of inductance is Total energy is In general for several conductors where Neumann formula of inductance 1845

7 How do we determine C(R)?
Consider the interaction between two current elements in parallel motion (thought experiment only): R I2dL2 I1dL1 Force on element nr 2 is Energy is Where inductance is So that energy is Using gives

8 Faraday-Henry Induction Law
Energy change expressed with inductance is Induction Voltage Generalize by allowing inductance to change with time ij Induction voltage in circuit j due to circuit k Mjk V ik For many circuits in the system (also j=k)

9 Origin of magnetic and inductive forces
Pairwise interaction between identical charged objects Electromagnetism Observer at rest V V Electric Force V Observer in motion Magnetic Force Relative rest R Principle of relative motion – basis for SR, also LAB

10 Origin of magnetic ”force” (effect) – interactions take time
Assume Interaction speed c Invariance of interaction speed v R=ct0 R R*=ct vt In motion, interaction occurs over a larger distance, R*, and the strength decreases. Coulombs law changes to which is electric plus magnetic force

11 Origin of inductive ”force” (effect) – interactions take time
1 2 t3 Total force is along R* Vertical components cancel Vertical force identified as the inductive force find ftot t2 fem s = vt R*=ct Velocity v t1 R The inductive force accelerate (decelerate) from 0 to v (v to 0) during time t = t2 – t1 => acceleration a = v/t Considering the force on object nr 2 (right object) Weber inductive force Inductive force is the longitudinal interactions between charges – origin of inductance

12 Steg 1: Principen om relativ rörelse
Observatör i vila Observatör i rörelse Relativ vila All rörelse är relativ. Det finns ingen absolut rörelse. Tid är rörelse i rummet. Tiden är relativ.

13 Steg 2: Tidsdilatation Tillämpa Newtons lagar Observatören i rörelse uppfattar tiden DT. Observatören i vila uppfattar tiden DT0 V R där m är laddningarnas massa. Antag att DT = gDT0 Dividera ekvationerna med varandra => Detta är tidsdilatationen, essensen av relativitetsteorin. så att Längdkontraktion, uppg. 9.4

14 Steg 3: Relativistisk rörelsemängd - rörelsemängdens bevarande
f v Observatör i rörelse uppfattar långsammare rörelse på vänstra objektet. Principen om kraft och motkraft är bruten => rörelsemängd bevaras inte Rörelsemängd omdefinieras för att transversell rörelsemängd ska vara oförändrad Inför relativistisk massa R antas vara oberoende av observatörens rörelse R Eftersom blir p = p0 Generellt, relativistisk rörelsemängd Relativistisk massa u är föremålets fart 14

15 Kraft och energi F E = gm0c2 tolkas som total energi
Betrakta ett föremål som påverkas av kraft Ingen lägesenergi i detta exempel! F x = x1 v = 0 x = x2 v = vf Relativistisk kraft Arbete Använd dx = v dt Rörelseenergi! E = gm0c2 tolkas som total energi E0 = m0c2 tolkas som viloenergi (inte Einsteins tolkning) Total energi kan också uttryckas VISA! 15

16 Fyr-dimensionell rum-tid
Einstein-Minkowski princip: fysik skall beskrivas oberoende av observatör Invarianter – oberoende av observatörens rörelse Invariant! Inför fyr-vektorn för rörelsemängd Beloppet av en vektor är alltid oberoende av koordinatsystem Definiera beloppet (i kvadrat) av en fyr-vektor tolkas som att invarianter nu uppstår i en fyr-dimensionell rum-tid där tiden är fjärde dimensionen Kvantiteter med fyra komponenter som kan forma invarianter på detta sätt kallas (fyr)-vektorer

17 Koordinaterna formar en fyr-vektor på följande sätt
Betrakta den parvisa växelverkningen v R*=ct ct0 ct0 vilket blir i tre rums-dimensioner Vi formar invarianten motsvarande fyr-vektorn x,y,z är längder, t, t0 är tidsintervall

18 Lorentz-transformationer
Koordinattransformationer O O’ v O O’ Relativistisk – Lorentztransformation Skall reduceras till Galilei för Skall vara linjära Klassisk – Galileitransformation Allmän form A, B, D skall bestämmas ur x,y,z är längder, t, t0 är tidsintervall

19 “Since the mathematicians have invaded the theory of relativity, I do not understand it myself anymore.” - Albert Einstein Metrik-tensorn Koordinatvektorn i infinitesimal form (som längder och intervall) blir Dess invariant uttrycks med metrik-tensorn gmn i rektangulära koordinater så att Euklidisk geometri  Pytgaros sats gäller och metriken som ovan Icke-euklidisk geometri Pytagoras gäller ej, metriktensorns har icke-diagonala element Metrik-tensorn används i Einsteins teori för gravitationen där den varierar med koordinaterna motsvarande ”krökt” rum-tid  icke-euklidisk geometri

20 Sammanfattning Det finns ingen absolut rörelse. All rörelse är relativ. Tid motsvarar rörelse Tiden beror av observatörens rörelse – tidsdilatation Farter högre än ljushastigheten leder till kausalitetsbrott Begreppen relativistisk rörelsemängd och kraft leder till ny uppfattning om energi: massa är en energiform Tiden kan tolkas som en fjärde dimension genom att forma invarianter Lorentz-transformationer Rörelsekonsekvenser, s.k. relativistiska effekter, uppstår därför att VÄXELVERKNINGAR TAR TID