Kap 1 - Algebra och funktioner

En presentation över ämnet: "Kap 1 - Algebra och funktioner"— Presentationens avskrift:

1 Kap 1 - Algebra och funktioner

2 GENOMGÅNG 1.3 Centralt innehåll Egenskaper hos polynomfunktion
Algebraiska och grafiska metoder att lösa polynomekvationer av högre grad Orientering kring kontinuerlig och diskret funktion Kunskapsmål Rita grafer till polynomfunktioner Bestämma nollställen, definitionsmängd och värdemängd till rationella funktioner Känna till vad som menas med en diskret respektive kontinuerlig funktion

3 Buskar på rad Y = 5x + 3

4 Buskar på rad Y = 5x + 3

5 Buskar på rad Y = 5x + 3

6 Funktioner En regel som till varje tillåtet 𝑥−värde ger exakt 𝑦−värde kallas en funktion De tillåtna 𝑥−värdena kallas funktionens definitionsmängd De 𝑦−värdena vi då kan få kallas funktionens värdemängd

7 Funktioner 𝒙 𝒚 Värdemängd Definitionsmängd

8 Räta linjens funktion

9 Räta linjens funktion 𝑦=𝑘𝑥+𝑚 𝑦=2𝑥+1

10 Räta linjens funktion m = 1

11 Linjär funktion 𝒚=𝒌𝒙+ 𝒎
Vi har 3 funktioner 𝑦 = 3−2𝑥 𝑦 = 𝑥 +2 𝑦 = 3𝑥−1 𝒎 = 0 𝑦 = −2𝑥 𝑦 = 𝑥 𝑦 = 3𝑥

12 Linjär funktion 𝒚=𝒌𝒙+ 𝒎
Vi har 3 funktioner 𝑦 = 3−2𝑥 𝑦 = 𝑥 +2 𝑦 = 3𝑥−1 𝒌 = 0 𝑦 =3 𝑦 =2 𝑦 =−1

13 Räta linjens funktion m = 6

14 Räta linjens funktion

15 Andragradsfunktioner
𝑓(𝑥)=𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 𝑎,𝑏, 𝑐 → konstanter 𝑎 ≠ 0

16 Andragradsfunktion―Nollställe
𝒚= 𝒙 𝟐 −𝟔𝒙+𝟖 𝒚= 𝒙 𝟐 −𝟔𝒙+𝟗 𝒚= 𝒙 𝟐 −𝟔𝒙+𝟏𝟏 Två nollställen Ett nollställe (dubbelrot) Inget nollställe Nollställe är detsamma som skärningspunkt med 𝑥−axeln

17 Andragradsfunktioner
Nollställen

18 Andragradsekvationer
Lösningsformeln + 𝒙 = Kvadraten på halva koefficienten för 𝒙 Konstanta termen med ombytt tecken Halva koefficienten för 𝒙 med ombytt tecken SKRIV DETTA MED DINA EGNA ORD!

19 Andragradsfunktioner
𝑓 𝑥 = 𝑥 2 −6𝑥+8 𝑥 2 −6𝑥+8=0 Symmetrilinje Minimipunkt

20 Potensfunktioner & exponentialfunktioner

21 Potensfunktioner 𝑪 är ”startvärde” 𝒙 är förändringsfaktor
𝒂 kan exempelvis vara tid i år

22 Potensfunktioner C är ”startvärde” x är förändringsfaktor
a kan exempelvis vara tid i år Uppgift: Värdet på en villa ökade från 2,4 miljoner kr till 3,2 miljoner kr under en femårsperiod. Vilken är den genomsnittliga årliga procentuella värdeökningen? Lösning: Vi sätter den årliga förändringsfaktorn till x och får då: Svar: Värdet ökade med i genomsnitt 5,9 % per år.

23 Potensfunktioner Funktionen  𝒇 𝒙 = 𝒙 kan skrivas  𝒇 𝒙 =  𝒙 𝟎,𝟓   så detta är en potensfunktion. Definitionsmängden är 𝒙 ≥ 0 (Man kan ju inte ta roten ur ett negativt tal) 𝒙 𝒇 𝒙 = 𝒙 1 2 1,414 3 1,732 4 5 2,236 6 2,646 7 2,828

24 Exponentialfunktioner
𝑪 är ”startvärde” 𝒂 är förändringsfaktor 𝒙 kan exempelvis vara tid i år

25 Exponentialfunktioner
C är ”startvärde” a är förändringsfaktor x kan exempelvis vara tid i år Fråga: En stad har folkmängden invånare. Folkmängden förväntas öka med 2% varje år. Hur lång tid tar det till dess att folkmängden är ? Lösning: Svar: Efter c:a 9 år är folkmängden

26 Exponentialfunktioner

27 Exponentialfunktioner

28 Exponentialfunktioner

29 Vilken är exponentialfunktionen?
Vad vet vi om a?

30 Vilken är exponentialfunktionen?
Jag hittar två punkter Exponentialfunktion Insättning av koordinater (0,5) ger:

31 Vilken är exponentialfunktionen?
Insättning av (1,4) ger: Den sökta exponentialfunktion:

32 Vilken är exponentialfunktionen?
Vad vet vi om a?

33 Vilken är exponentialfunktionen?
Vad vet vi om a?

34 Grafen till en polynomfunktion
Funktionen 𝒉 har nollställen där 𝒉(𝒙) = 𝟎 Grafen till ett fjärdegradspolynom Grafen till ett femtegradspolynom En polynomfunktion av grad 𝒏 har högst 𝒏 stycken nollställen En polynomfunktion av grad 𝒏 har högst 𝒏 stycken rötter

35 Faktorform och nollställen
Polynomet 𝒑 𝒙 = 𝒙+𝟏 𝒙−𝟏 𝒙−𝟑 är skriven i faktorform Efter multiplikation får vi 𝒑(𝒙)= 𝒙 𝟑 − 𝟑𝒙 𝟐 − 𝒙 + 𝟑 När polynomet är skriven i faktorform, är det enkelt att se att polynomet har nollställena 𝒙 = −1, 𝒙 = 1, 𝒙 = 3 Vi sätter 𝒙 = −1 i polynomet: 𝒑 −𝟏 = −𝟏+𝟏 −𝟏−𝟏 −𝟏−𝟑 = 0∙(-2)∙(-4) = 0 På samma sätt ser man att 𝒑 𝟏 = 𝒑 𝟑 =𝟎

36 Faktorform och nollställen
Genom att finna rötterna till polynomekvation 𝒑 𝒙 =𝟎, får vi även nollställen till polynomet 𝒑 𝒙 Dessa nollställen kan användas som hjälp för att faktorisera polynomet 𝒑 𝒙 = 𝒙 𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 − 𝟏𝟏 har nollställena Polynom kan skrivas i faktorform 𝒑 𝒙 = 𝒙+𝟏 𝒙−𝟏𝟏 𝒙 = −1 𝒙 = 11

37 Faktorform och nollställen
Ett polynom 𝒑 𝒙 av grad 𝒏 som har nollställena 𝒙 𝟏 , 𝒙 𝟐 , … 𝒙 𝒏 kan skrivas 𝒑 𝒙 =𝒌 𝒙− 𝒙 𝟏 𝒙− 𝒙 𝟐 …(𝒙− 𝒙 𝒏 ) där 𝒌 är en konstant