Kapitel 1 Algebra och linjära modeller manada.se.

En presentation över ämnet: "Kapitel 1 Algebra och linjära modeller manada.se."— Presentationens avskrift:

1 Kapitel 1 Algebra och linjära modeller manada.se

2 1.3 Räta linjens ekvation manada.se

3 Linjära modeller Om vi vill beskriva en situation med hjälp av en matematisk modell där 𝑦 är en funktion av 𝒙, behöver vi ofta veta hur snabbt 𝑦 förändras då 𝒙 ändras Vi vill veta förändringshastigheten 𝚫𝒚 𝚫𝒙 För linjära samband är förändringshastigheten konstant och lika med 𝒌-värdet När vi tolkar 𝒌-värdet ingår en enhet av typen personer per år, m/s eller kr/mil manada.se

4 Buskar på rad Y = 5x + 3 manada.se

5 Buskar på rad Y = 5x + 3 manada.se

6 Buskar på rad 𝒚 = 𝟓𝒙 + 𝟑 𝑥 𝑦 = 5𝑥 + 3 1 8 2 13 3 18 4 23 5 28
Y = 5x + 3 manada.se

7 𝑦=𝑘𝑥+𝑚 Räta linjens ekvation 𝑘−värdet = linjens lutning
Hur mycket linjen ändras(stiger eller faller) för varje enhet vi går framåt i 𝑥−led 𝑚−värdet = var linjen skär 𝑦−axeln manada.se

8 Linjär funktion 𝒚=𝒌𝒙+ 𝒎
Vi har 3 funktioner 𝑦 = 3−2𝑥 𝑦 = 𝑥 +2 𝑦 = 3𝑥−1 𝒎 = 0 𝑦 = −2𝑥 𝑦 = 𝑥 𝑦 = 3𝑥 manada.se

9 Linjär funktion 𝒚=𝒌𝒙+ 𝒎
Vi har 3 funktioner 𝑦 = 3−2𝑥 𝑦 = 𝑥 +2 𝑦 = 3𝑥−1 𝒌 = 0 𝑦 =3 𝑦 =2 𝑦 =−1 manada.se

10 Funktionen 𝑦=2𝑥 + 3 Hur vet jag att namnet på denna linje är 𝑦 = 2𝑥 + 3? manada.se

11 Vad heter denna linjen? • • 𝑦=𝑘𝑥+𝑚 𝑘= Δ𝑦 Δ𝑥 = 3 2 𝑚=(−2) 𝑦= 3 2 𝑥−2
∆𝒚 = 𝟑 • ∆𝒙 = 𝟐 𝑦=1,5𝑥−2 Vilket sätt att skriva är bäst? manada.se

12 • • Linjens lutning (1,5) 𝟐 𝒔𝒕𝒆𝒈 𝒊 𝒚−𝒍𝒆𝒅 (0,3) 𝟏 𝒔𝒕𝒆𝒈 𝒊 𝒙−𝒍𝒆𝒅
manada.se

13 • • Linjens lutning Linjens lutning = Δ𝑦 Δ𝑥 = 2 1 =2 (1,5) Δ𝒚=𝟐 (0,3)
Δ𝒙=𝟏 manada.se

14 𝑘 = förändringen i y−led förändringen i x−led
Formel för 𝒌 Lutningen 𝑘 för en linje genom punkterna (𝒙𝟏 ,𝒚𝟏) och (𝒙𝟐 ,𝒚𝟐) beräknas med formeln 𝑘 = förändringen i y−led förändringen i x−led 𝑘 = 𝑦2−𝑦1 𝑥2−𝑥1 = ∆ 𝑦 ∆𝑥 Tecknet Δ är den grekiska bokstaven delta. Delta står för differens (skillnad) eller förändring. I detta sammanhang betyder Δ𝑦 skillnaden mellan 𝑦−koordinater och Δ𝑥 skillnaden mellan 𝑥−koordinater • ( 𝒙 𝟏 𝒚 𝟏 ) Δ𝒚=( 𝒚 𝟏 − 𝒚 𝟐 ) • 𝒙 𝟐 , 𝒚 𝟐 Δ𝒙=( 𝒙 𝟏 − 𝒙 𝟐 ) manada.se

15 Vad heter denna linjen? • • 𝑘= Δ𝑦 Δ𝑥 = 6 4 = 3 2 𝑦= 3 2 𝑥−2 𝑦=1,5𝑥−2
∆𝒚 = 𝟔 𝑚=(−2) 𝑦= 3 2 𝑥−2 • ∆𝒙 = 𝟒 𝑦=1,5𝑥−2 manada.se

16 Vad heter denna linjen? DETTA SÄTT ÄR ATT FÖREDRA! • manada.se

17 PARALLELLA LINJER 𝑦 = 2𝑥 + 1 𝑦 = 2𝑥 − 1
Parallella linjer har samma 𝒌−värde Parallella linjer har samma lutning manada.se

18 VINKELRÄTA LINJER manada.se

19 VINKELRÄTA LINJER 𝑦 1 = 2𝑥 + 1 𝑦 2 =− 1 2 𝑥−1 𝑘 1 =2 𝑘 2 = − 1 2
𝑦 1 = 2𝑥 + 1 𝑘 1 =2 𝑦 2 =− 1 2 𝑥−1 𝑘 2 = − 1 2 𝑘 1 ∙ 𝑘 2 =2∙ − 1 2 =(−1) Om man multiplicerar 𝑘−värdena för två vinkelräta linjer får man alltid produkten (−1) manada.se

20 Invertera ett bråk manada.se

21 Invertera ett hel tal manada.se

22 Inverterande tal Om man multiplicerar ett tal med dess inverterade värde får man alltid produkten 1 (ett). manada.se

23 Inverterade tal Om man multiplicerar ett tal med dess inverterade värde får man alltid produkten 1 (ett). manada.se

24 Inverterade tal Om man multiplicerar ett tal med dess inverterade värde får man alltid produkten 1 (ett). manada.se

25 Parallella linjer Vad heter dessa linjer? manada.se

26 VINKELRÄTA LINJER manada.se

27 Sammanfattning Grafen till en funktion 𝒚= 𝒌𝒙 + 𝒎 är en rät linje.
𝒎−värdet anger y-värdet för linjens skärningspunkt med y-axeln. Skärningspunktens koordinater är (0,m) 𝒌−värdet är ett mått på linjens lutning. Det anger hur mycket linjen ändras (stiger eller faller) för varje steg vi går åt höger i x-led Lutningen för en linje genom punkterna (𝒙𝟏 ,𝒚𝟏) och (𝒙𝟐 ,𝒚𝟐) beräknas med formeln 𝑘 = förändringen i y−led förändringen i x−led = ∆ 𝑦 ∆𝑥 = 𝑦2−𝑦1 𝑥2−𝑥1 manada.se

28 Sammanfattning Lutningen 𝒌 anger linjens riktning och kallas riktningskoefficient För två linjer med riktningskoefficient 𝒌𝟏 och 𝒌𝟐 gäller om 𝒌𝟏=𝒌𝟐 är linjerna parallella om 𝒌𝟏∗𝒌𝟐 =(−𝟏) är linjerna vinkelräta manada.se

29 Linjära modeller Om vi vill beskriva en situation med hjälp av en matematisk modell där 𝑦 är en funktion av 𝒙, behöver vi ofta veta hur snabbt 𝑦 förändras då 𝒙 ändras Vi vill veta förändringshastigheten 𝚫𝒚 𝚫𝒙 För linjära samband är förändringshastigheten konstant och lika med 𝒌-värdet När vi tolkar 𝒌-värdet ingår en enhet av typen personer per år, m/s eller kr/mil manada.se

30 Exempel Höjden, 𝒚 cm, på ett brinnande stearinljus minskar enligt modellen 𝑦=20−4𝑥 där 𝒙 är tiden i timmar Ange och tolka funktionens 𝒎-värde 𝒎 = 20, Ljuset var 20 cm högt från början Ange och tolka funktionens 𝒌-värde 𝒌= 4, Ljusets höjd minskar med 4 cm/tim Bestäm modellens definitionsmängd Definitionsmängd: 0≤ 𝒙≤5 Efter 5 timmar har ljuset brunnit ner manada.se