Kap 1 - Algebra och funktioner

En presentation över ämnet: "Kap 1 - Algebra och funktioner"— Presentationens avskrift:

1 Kap 1 - Algebra och funktioner

2 1.1 Algebra och polynom

3 POLYNOM Vid straffkast i basketboll är kastkurvan en parabel. Den kan beskrivas med andragradspolynomet y = 2,15 + 2,1x – 0,41x2

4 y = 2,15 + 2,1x – 0,41x2 Terminologi +2,15 är en konstantterm
+2,1x och -0,41x2 är variabeltermer talen +2,1 och -0,41 kallas koefficienter y innehåller värdet på polynomet (uttrycket)

5 Potenslagarna SE FORMELBLADET!

6 ? Potenslagarna Tips på metod Byt ut alla a mot 5 och alla x mot 3
Kontroll med räknare ?

7 Definitioner ETT GENOM

8 Definitioner

9 Definitioner

10 Definitioner

11 Definitioner

12 Lagar för kvadratrötter

13 Lagar för kvadratrötter

14 Lagar för kvadratrötter

15 Andragradsekvationer
Lösningsformeln Halva koefficienten för x med ombytt tecken Kvadraten på halva koefficienten för x Konstanta termen med ombytt tecken X = SKRIV DETTA MED DINA EGNA ORD!

16 OBS!

17 Andragradsekvationer
För att använda lösningsformeln så är det bra att först skriva ekvationen på normalform, identifiera talen p och q och sedan sätta in dem i formeln, och eventuellt förenkla uttrycket lite. Den här lösningsformeln kallas populärt för pq-formeln. [ ]

18 Andragradsekvationer
Symmetrilinje 1 1 Minimipunkt

19 a och b är polynomets nollställen
Andragradspolynom a och b är polynomets nollställen

20 Andragradspolynom

21 Andragradspolynom Vad heter denna funktion?

22 Andragradspolynom Nollställen

23 Andragradspolynom Funktionen heter:

24 Andragradspolynom Vad heter denna funktion?

25 Andragradspolynom Vad heter denna funktion?

26 ARBETA NEDÅT! Räkning med polynom (8 + 2x) + (3 – 4x) =

27 Andragradspolynom Vad heter denna funktion? Kolla med DESMOS

28 Andragradspolynom Vad heter denna funktion? Kolla med DESMOS

29 Andragradspolynom Vad heter denna funktion? Ta hjälp av DESMOS

30 Andragradspolynom Vad heter denna funktion? Ta hjälp av DESMOS

31 Faktorisera Skriv om följande tal och uttryck så att det blir en multiplikation i stället 7 x 8 189 x 10 2(x+1) 7x(x-7) (p+2)(p-2) (x+3)(x+3) = (x+3)² (5p-8)²

32 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 Kvadreringsreglerna
1:a kvadreringsregeln (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 2:a kvadreringsregeln (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

33 (z – 2p)2 = z2 – 4pz + 4p2 (2x + 3)2 = (2x)2 + 12x + 9
Kvadreringsreglerna 1:a kvadreringsregeln (2x + 3)2 = (2x)2 + 12x + 9 2:a kvadreringsregeln (z – 2p)2 = z2 – 4pz + 4p2

34 (a + b)(a - b) = a2 – b2 (2x + 3)(2x - 3) = 4x2 – 9
Konjugatregeln (a + b)(a - b) = a2 – b2 (2x + 3)(2x - 3) = 4x2 – 9 (2x)2 –32 = 4x2 - 9

35 1.2 Rationella uttryck

36 TALMÄNGDER

37 Rationella uttryck

38 Rationella uttryck För vilka variabelvärden är uttrycket inte definierat? Svar: Ej definierat för x = -2 och x = -3

39 Rationella uttryck Testa!
För vilka variabelvärden är uttrycket inte definierat? Svar: Ej definierat för x = -2 och x = -3 Testa!

40 Förlängning

41 Förkortning

42 Klarar du denna utan räknare?

43 Klarar du denna utan räknare?

44 Vad heter kurvan?

45 Vad heter kurvan?

46 Kan du rita denna i DESMOS?

47 Förenkla 7 x 8 189 x 10 2(x+1) 7x(x-7) (p+2)(p-2) (x+3)(x+3) = (x+3)²

48 Förenkla 7 x 8 189 x 10 2(x+1) 7x(x-7) (p+2)(p-2) (x+3)(x+3) = (x+3)²

49 Enklaste form

50 Förlängning, exempel

51 Förlängning, exempel

52 Enklaste form, exempel

53 Enklaste form, exempel

54 Enklaste form, exempel Hur vet man att det är just talet 10 man skall förlänga med?

55 Varning!! VARFÖR!

56 Fundering! Är detta samma sak?

57 OBS!!

58 Bryt ut (-1)

59 Bryt ut -1

60 Förenkla

61 Förenkla

62 1.3 Funktioner

63 Funktioner

64 Vertikaltest

65 Vertikaltest

66 Vertikaltest

67 Funktioner VÄRDEMÄNGD DEFINITIONSMÄNGD

68 Räta linjens ekvation

69 Räta linjens ekvation m = 1

70 Räta linjens ekvation m = 6

71 Räta linjens ekvation

72 Räta linjens ekvation

73 Tre lutningar

74 Räta linjens ekvation

75 DESMOS Klicka på bilden för att gå till DESMOS

76 Buskar på rad Y = 5x + 3

77 Buskar på rad Y = 5x + 3

78 Buskar på rad Y = 5x + 3

79 Buskar på rad Y = 5x + 3

80 Andragradsekvationer
Inget nollställe Ett nollställe (dubbelrot) Två nollställen NOLLSTÄLLE ÄR DETSAMMA SOM SKÄRNINGSPUNKT MED X-AXELN

81 Andragradsekvationer
Inget nollställe Ett nollställe (dubbelrot) Två nollställen

82 Andragradsekvationer
NOLLSTÄLLEN

83 Andragradsekvationer
Symmetrilinje Minimipunkt

84 Grafisk lösningsmetod

85 Algebraisk lösningsmetod
Vad hände här?

86 Algebraisk lösningsmetod

87 Algebraisk lösningsmetod

88 Grafisk lösningsmetod
Lös denna med hjälp av DESMOS

89 Grafisk lösningsmetod
Lös denna med hjälp av DESMOS

90 OBS! 197^(1/5) = 2, lg(197)/lg(5) = 3, 2,87669^5 = 196, 5^3, = 196,

91 Potensfunktioner & Exponentialfunktioner

92 Potensfunktioner C är ”startvärde” x är förändringsfaktor
a kan exempelvis vara tid i år

93 Potensfunktioner C är ”startvärde” x är förändringsfaktor
a kan exempelvis vara tid i år Uppgift: Värdet på en villa ökade från 2,4 miljoner kr till 3,2 miljoner kr under en femårsperiod. Vilken är den genomsnittliga årliga procentuella värdeökningen? Lösning: Vi sätter den årliga förändringsfaktorn till x och får då: Svar: Värdet ökade med i genomsnitt 5,9 % per år. (3,2/2,4)^(1/5) = 1,

94 Exponentialfunktioner
C är ”startvärde” a är förändringsfaktor x kan exempelvis vara tid i år

95 Exponentialfunktioner
C är ”startvärde” a är förändringsfaktor x kan exempelvis vara tid i år Fråga: En stad har folkmängden invånare. Folkmängden förväntas öka med 2% varje år. Hur lång tid tar det till dess att folkmängden är ? Lösning: Svar: Efter c:a 9 år är folkmängden

96 Exponentialfunktioner
Vad vet vi om a?

97 Exponentialfunktioner

98 Exponentialfunktioner
Vad vet vi om a?

99 Exponentialfunktioner

100 Vilken är exponentialfunktionen?
Vad vet vi om a?

101 Vilken är exponentialfunktionen?
Jag hittar två punkter Exponentialfunktion Insättning av (0,5) ger:

102 Vilken är exponentialfunktionen?
Insättning av (1,4) ger: Den sökta exponentialfunktion:

103 Vilken är exponentialfunktionen?
Vad vet vi om a?

104 Vilken är exponentialfunktionen?

105 Vilken är exponentialfunktionen?

106 Hit har vi kommit! Nu går vi vidare!

107 Vilken är exponentialfunktionen?
Hemuppgift i Teams, vecka 36

108 Vilken är exponentialfunktionen?

109 Vilken är exponentialfunktionen?

110 Folkmängd Folkmängden ökar med 5 % varje år.
Fakta Folkmängden ökar med 5 % varje år. Första året ökar folkmängden med 750 personer. Uppgift Hur stor är folkmängden om 10 år?

111 Folkmängd Folkmängd från början: Folkmängd om 10 år:

112 Sätt namn på grafen

113 Sätt namn på grafen

114 VAD HETER FUNKTIONEN? F(x) = (x - 3)(x + 2)

115 VAD HETER FUNKTIONEN? f(x)=(x+2)(x-3)  f(x)=x²-3x+2x-6  f(x)=x²-x-6

116 VAD HETER FUNKTIONEN? y=-x^2-x+6

117 VAD HETER FUNKTIONEN? Men detta stämmer ju inte! Vad göra…? Testa!!
y=-x^2-x+6 Testa!! [ Länk till DESMOS ]

118 VAD HETER FUNKTIONERNA?
y=-x^2-x+6

119 Vilken är exponentialfunktionen?
Vad vet vi om a?

120 Vilken är exponentialfunktionen?
Jag hittar två punkter Exponentialfunktion Insättning av (0,5) ger:

121 Vilken är exponentialfunktionen?
Insättning av (1,4) ger: Den sökta exponentialfunktion:

122 Exponentialfunktioner
C är ”startvärde” a är förändringsfaktor x kan exempelvis vara tid i år Fråga: En stad har folkmängden invånare. Folkmängden förväntas öka med 2% varje år. Hur lång tid tar det till dess att folkmängden är ? Lösning: Svar: Efter c:a 9 år är folkmängden

123 Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det invånare och år 2000 fanns det invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

124 Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det invånare och år 2000 fanns det invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen?

125 Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det invånare och år 2000 fanns det invånare i staden. Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år?

126 Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det invånare och år 2000 fanns det invånare i staden. Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

127 Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det invånare och år 2000 fanns det invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

128 Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det invånare och år 2000 fanns det invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

129 Befolkningsproblem HUR LAGRAR DU VÄRDEN I DIN RÄKNARE?
Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det invånare och år 2000 fanns det invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare? HUR LAGRAR DU VÄRDEN I DIN RÄKNARE?

130 Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det invånare och år 2000 fanns det invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

131 Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det invånare och år 2000 fanns det invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

132 Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det invånare och år 2000 fanns det invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

133 ATT KUNNA TILL PROV 1 ATT KUNNA TILL PROV 1

134 Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det invånare och år 2000 fanns det invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

135 SOCRATIVE