Matematik 1C Tanja Hrnjez

En presentation över ämnet: "Matematik 1C Tanja Hrnjez"— Presentationens avskrift:

1 Matematik 1C Tanja Hrnjez
VEKTORER Matematik 1C Tanja Hrnjez 1/2/2019

2 Vektorer Definition: Vektor En vektor är ett matematiskt objekt som karaktäriseras av både storlek (magnitud) och riktning. Lika vektorer Vektorer har stor betydelse när man skall beskriva storlekar som kraft och hastighet Man brukar skilja på vektorer och skalärer En vektor är en storhet som har både storlek och riktning, skalärer har endast storlek Exempel på vektorer: kraft, hastighet och acceleration Exempel på skalärer är temperatur, area och energi 1/2/2019

3 Vektorer Vektorer visas med pilar eftersom
en pil har både storlek och riktning. Vektorer som har samma längd och samma riktning är likadana På bilden är vektorerna 𝑎 och 𝑏 lika eftersom de är lika BÅDE till storlek och riktning. 1/2/2019

4 Vektorer DEFINITION: Motsatta vektorer 𝑢
Motsatta vektorer är vektorer som har motsatt riktning, men samma storlek. 𝑢 𝑣 SATS: Parallella vektorer Om 𝑢 =k∙ 𝑣 , där k är konstant, är vektorerna 𝑢 och 𝑣 parallella. 𝑢 𝑣 1/2/2019

5 Vektor Storleken på en vektor 𝑢 betecknas med 𝑢
Riktningen på en vektor kan anges på olika sätt, t ex med en vinkel 𝑢 v 1/2/2019

6 Exempel 1/2/2019

7 Addition av vektorer 1/2/2019

8 Addition av vektorer Vi utgår från två parallella vektorer, i detta fall två krafter, där 𝐹 1 =3 N (Newton) och 𝐹 2 =2 N för att visa hur man adderar vektorer. Bestäm F1 + F2. 𝐹1 =3 N 𝐹 1 och 𝐹 2 kallas för komposanter och 𝑅 för resultant. 𝐹2 =2 N 𝑅 = 𝐹1 + 𝐹2 =5 N Addera = “låta vektorer bita varandra i svansen” 1/2/2019

9 Addition av vektorer Addera motsatta vektorer 𝑎 + 𝑏 = 0
𝑎 + 𝑏 = 0 𝑏 Summan av motsatta vektorer är nollvektor. 1/2/2019

10 Addition av vektorer Låt oss addera en positiv och en negativ vektor 𝐹 𝐹 2 där 𝐹 1 =3 N 0ch 𝐹 2 =-2 N. 𝐹 1=3 N 𝐹2 =2 N 𝑅 = 𝐹1 + 𝐹2 =3+ (-2) = 1 N 1/2/2019

11 Addition av vektorer 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 Låt oss addera vektorer 𝑎 och 𝑏:
Addition av vektorer är kommutativ! 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 1/2/2019

12 Addition av vektorer Addera vektorer 𝑢 1 , 𝑢 2 och 𝑢 3 :
𝑢 1 𝑅 = 𝑢 𝑢 𝑢 1 𝑢 1 𝑅 = 𝑢 𝑢 𝑢 2 𝑢 2 𝑢 2 𝑢 3 𝑢 3 1/2/2019

13 Subtraktion av vektorer
1/2/2019

14 Subtraktion av vektorer
Vi utgår från två parallella vektorer, i detta fall två krafter, där 𝐹 1 =3 N (Newton) och 𝐹 2 =2 N för att visa hur man subtraherar vektorer. Bestäm F1 - F2. 𝐹1 =3 N 𝐹2 =2 N 𝑅 = 𝐹1 − 𝐹2 =3-2 = 1 N 1/2/2019

15 Subtraktion av vektorer
𝑏 𝑏 - 𝑎 𝑏 𝑎 - 𝑏 𝑎 𝑎 𝑏 - 𝑎 𝑏 +(- 𝑎) 𝑏 𝑎 𝑎 - 𝑏 - 𝑏 𝑎 1/2/2019

16 Vektorer i koordinatsystem
1/2/2019

17 Vektorer i koordinatsystem
Här har vi lagt in en vektor i ett koordinatsystem och den ses som en riktad sträcka från origo till en punkt eller ett koordinatpar (x,y) 𝑢 (x,y) 𝑢 𝑦 x 𝑢 x Här syns det tydligt att 𝑢 = 𝑢 x + 𝑢 y 1/2/2019

18 Vektorer i koordinatsystem
DEFINITION: Basvektorer Basvektorerna 𝑒 𝑥 och 𝑒 𝑦 är två vektorer vinkelräta mot varandra. Basvektornas storlekar är 1, 𝑒 𝑥 = 𝑒 𝑦 =1. Om dessa basvektorer placeras i origo riktade i x- och y-axelns positiva riktningar kallas de ortsvektorer. Det innebär att en vektors komposanter kan skrivas: 𝑢 x = x ∙ 𝑒 𝑥 och 𝑢 y = y ∙ 𝑒 𝑦 där (x,y) är den koordinat där vektor slutar. x y x y 𝑢 (x,y) 𝑢 (4,3) 𝑢 y = y ∙ 𝑒 𝑦 𝑢 y = 3 ∙ 𝑒 𝑦 𝑒 𝑦 𝑒 𝑦 𝑒 𝑥 𝑒 𝑥 1/2/2019 𝑢 x = x ∙ 𝑒 𝑥 𝑢 x = 4 ∙ 𝑒 𝑥

19 Vektorer i koordinatsystem
En vektor kan skrivas som 𝑢 = x ∙ 𝑒 𝑥 +y ∙ 𝑒 𝑦 =(x,y) Vektor i exemplet skulle då bli 𝑢 = 4 ∙ 𝑒 𝑥 +3 ∙ 𝑒 𝑦 =(4,3) Med det menas altså den riktade sträckan, eller vektor, från origo till punkten (4,3). 1/2/2019

20 Vektorer i koordinatsystem
u + v =(2+3,4+1)=(5,5) (4,8) 𝑢 = (2,4) Vad blir 𝑢 + 𝑣 ? 2 ∙ 𝑢 𝑣 = (3,1) x 1/2/2019

21 Vektorer i koordinatsystem
SATS: Räkneregler för vektorer Om 𝑢 1 =( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) och 𝑢 2 =( 𝑥 2 , 𝑦 2 ) så gäller: 𝑢 𝑢 2 =( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) + ( 𝑥 2 , 𝑦 2 )= ( 𝑥 1 + 𝑥 2 , 𝑦 1 + 𝑦 2 ) 𝑢 1 − 𝑢 2 =( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) - ( 𝑥 2 , 𝑦 2 )= ( 𝑥 1 − 𝑥 2 , 𝑦 1 − 𝑦 2 ) a∙ 𝑢 =(ax,ay) SATS: Storleken av en vektor Storleken av vektorn 𝑢 =(x,y) är 𝑢 = 𝑥 2 + 𝑦 2 1/2/2019

22 Vektorer i koordinatsystem
1/2/2019

23 Vektorer och trigonometri
När man använder vektorer i tillämpade sammanhang, t ex i fysiken, är riktningen ofta angiven med en vinkel. En basebollspelare slål iväg bollen med vinkel på 45° med utgångshastigheten 25 𝑚 𝑠 . x y 45° 𝑣 =25 𝑚 𝑠 𝑣 𝑥 cos45°= 𝑣 𝑥 25 sin45°= 𝑣 𝑦 25 𝑣 𝑦 längd höjd utslagsvinkel 𝑣 =25 𝑚 𝑠 1/2/2019