Kurvor, derivator och integraler

En presentation över ämnet: "Kurvor, derivator och integraler"— Presentationens avskrift:

1 Kurvor, derivator och integraler

2 GENOMGÅNG 3.1

3 Växande och avtagande

4 Första och andra derivata
Andra derivatans nollställe Första derivatans nollställen

5 Teckentabell

6 Teckentabell

7 Teckentabell Extremvärden 5 -3 3 -3 5 -3 + - +

8 Vi tar hjälp av DESMOS

9 Exempeluppgift Vilka värden kan x anta?

10 Exempeluppgift Vilka värden kan x anta?

11 Exempeluppgift Vilka värden kan x anta?

12 Exempeluppgift Vilka värden kan x anta?

13 Exempeluppgift Vilken är den maximala arean?

14 Exempeluppgift NOLL? ?

15 Exempeluppgift Vilken är den maximala arean?

16 Exempeluppgift Svar: Största arean får vi där x = 9 och den är 162 ae.

17 Exempeluppgift - kontroll

18 Maximal area Punkten P ligger på den räta linjen. Tillsammans med de positiva koordinataxlarna bestämmer punkten P en rektangel. När punkten P flyttas längs med linjen kommer rektangelns höjd och bredd att förändras. Bestäm rektangelns maximala area.

19 Maximal area Hur får vi fram denna?

20 Maximal area Rektangelns maximala area är 13,5 ae.

21 Maximal area Lösning 2 Rektangelns maximala area är 13,5 ae.

22 Maximal area - övning Punkten P ligger på den räta linjen. Tillsammans med de positiva koordinataxlarna bestämmer punkten P en rektangel. När punkten P flyttas längs med linjen kommer rektangelns höjd och bredd att förändras. Bestäm rektangelns maximala area. P

23 Maximal area - övning Dela ut!
Punkten P ligger på den räta linjen. Tillsammans med de positiva koordinataxlarna bestämmer punkten P en rektangel. När punkten P flyttas längs med linjen kommer rektangelns höjd och bredd att förändras. Bestäm rektangelns maximala area. Vad heter linjen? Areafunktion Derivata y’ = 0 A(x)= ? Dela ut! P

24 Maximal area - övning Svar: Den maximala arean är 32 ae.
Punkten P ligger på den räta linjen. Tillsammans med de positiva koordinataxlarna bestämmer punkten P en rektangel. När punkten P flyttas längs med linjen kommer rektangelns höjd och bredd att förändras. Bestäm rektangelns maximala area. P Svar: Den maximala arean är 32 ae.

25 Maximal area - övning Svar: Den maximala arean är 32 ae.
Punkten P ligger på den räta linjen. Tillsammans med de positiva koordinataxlarna bestämmer punkten P en rektangel. När punkten P flyttas längs med linjen kommer rektangelns höjd och bredd att förändras. Bestäm rektangelns maximala area. P Svar: Den maximala arean är 32 ae.

26 Maximal area - övning

27 Exempeluppgift Bestäm det största och det minsta värdet som
antar i intervallet 1. Vi börjar med att derivera f(x) 2. Vi sätter f´(x) = 0 PQ-formeln ger oss

28 Exempeluppgift Kan vi vara säkra på detta? Nej! Varför inte det?
Bestäm det största och det minsta värdet som antar i intervallet 3. Vi sätter in våra x-värden i f(x) 4 × 25^ × 25^ × 25 = 4 × 40^ × 40^ × 40 = Största värde: ?? Minsta värde: ?? Kan vi vara säkra på detta? Nej! Varför inte det?

29 Exempeluppgift Största värde: 125 000 Minsta värde: 112 000
Bestäm det största och det minsta värdet som antar i intervallet Största värde: Minsta värde: OBS! 4 × 18^ × 18^ × 18 = 4 × 25^ × 25^ × 25 = 4 × 40^ × 40^ × 40 = 4 × 50^ × 50^ × 50 =

30 Exempeluppgift Största värde: 125 000 Minsta värde: 112 000
Bestäm det största och det minsta värdet som antar i intervallet Största värde: Minsta värde: 4 × 50^ × 50^ × 50 = 4 × 25^ × 25^ × 25 = 4 × 18^ × 18^ × 18 = 4 × 40^ × 40^ × 40 =

31 Exempeluppgift Bestäm det största och det minsta värdet som
antar i intervallet 4 × 18^ × 18^ × 18 = 4 × 25^ × 25^ × 25 = 4 × 40^ × 40^ × 40 = 4 × 50^ × 50^ × 50 = Kommentar: För att vara säker på att vi har största respektive lägsta värde i det givna intervallet måste vi sätta in dels de båda x-värdena som derivatans nollställen ger, dels de båda x-värdena som ges av intervallets yttervärden.

32 Exempeluppgift Bestäm det största och det minsta värdet som
antar i intervallet 4 × 18^ × 18^ × 18 = 4 × 25^ × 25^ × 25 = 4 × 40^ × 40^ × 40 = 4 × 50^ × 50^ × 50 =

33 Andraderivatan och grafen
GENOMGÅNG 3.2 Polynomfunktioner Andraderivatan Andraderivatan och grafen

34 Polynomfunktioner

35 Polynomfunktioner

36 Polynomfunktioner

37 Polynomfunktioner Vad måste vi veta? Hur ska vi göra här? Vad är det?

38 Polynomfunktioner A Rektangeln i figuren har sidorna 16 cm och 12 cm.
Denna uppgift skall leda fram till att vi tar reda på det värde på x som ger minsta möjliga värde på arean A. Uppgift 3212, sidan 149 (151)

39 Polynomfunktioner A Rektangeln i figuren har sidorna 16 cm och 12 cm.
Bestäm arean (A) av den grå triangeln som en funktion av x.

40 Polynomfunktioner I A III II Bestäm arean (A) av den grå triangeln som en funktion av x. Jag inför beteckningar för de 3 vita trianglarna: I: II: III:

41 Polynomfunktioner A I: II: III: Arean (A) av den grå triangeln: I III

42 Polynomfunktioner A I: II: III: Definitionsmängden för arean (A) är:
Variabeln x måste ligga mellan 0 och 8. Varför?

43 Polynomfunktioner I A III II För vilket värde på x blir den grå triangelarean den minsta möjliga? Börja med att derivera A! Svar: När x = 6 så har den grå arean minsta möjliga värde. (Hur vet vi att det är minsta och inte största area?)

44 Polynomfunktioner A Kontrollerar med graf: I III II Definitionsmängd
Minsta area x-värde vid minsta area Största area?? Uppgift 3212, sidan 149 (151)

45 Polynomfunktioner Hur vet vi att det är minsta möjliga area?
Denna uppgift skall leda fram till att vi tar reda på det värde på x som ger minsta möjliga värde på arean A. Hur skall vi göra detta? A Namnge area av hela rektangeln. Namnge alla tre vita trianglar 1 ) …………………………………………….. 2 ) …………………………………………….. 3 ) …………………………………………….. 4 ) …………………………………………….. 5 ) …………………………………………….. Hur vet vi att det är minsta möjliga area? Grå area (A) är hela arean minus de tre vita trianglarna. Derivera den grå arean (A) och du får A’. Sätt A’ = 0 och beräkna. Du får x = 6. Beräkna A(6) och du får minsta möjliga area.

46 Polynomfunktioner 1 ) …………………………………………….. 2 ) ……………………………………………..
Denna uppgift skall leda fram till att vi tar reda på det värde på x som ger minsta möjliga värde på arean A. Hur skall vi göra detta? A 1 ) …………………………………………….. 2 ) …………………………………………….. 3 ) …………………………………………….. 4 ) …………………………………………….. 5 ) ……………………………………………..

47 Andraderivatan

48 Andraderivatan

49 Andraderivatan

50 Andraderivatan

51 Andraderivatan och grafen

52 Andraderivatan och grafen

53 Andraderivatan och grafen
?

54 Andraderivatan och grafen
Länk till DESMOS [C:a 10 minuter]

55 Andraderivatan och grafen

56 Andraderivatan och grafen

57 GENOMGÅNG 3.3 Primitiva funktioner Primitiva funktioner med villkor

58 FRÅN TEXT-TV (SVT) Hur stor har den årliga procentuella minskningen av livsmedelsbutiker varit i Sverige sedan 1996? Antal butiker 1996: 7400 st Antal butiker 2013: 5400 st

59 FRÅN TEXT-TV (SVT) Varifrån kom talet 17?
Hur stor har den årliga procentuella minskningen av livsmedelsbutiker varit i Sverige sedan 1996? Antal butiker 1996: 7400 st Antal butiker 2013: 5400 st Formel: Varifrån kom talet 17?

60 FRÅN TEXT-TV (SVT) Hur stor har den årliga procentuella minskningen av livsmedelsbutiker varit i Sverige sedan 1996?

61 FRÅN TEXT-TV (SVT) Hur stor har den årliga procentuella minskningen av livsmedelsbutiker varit i Sverige sedan 1996? (5400/7400)^(1/17) ≈ 0, … Hur skall vi svara?

62 FRÅN TEXT-TV (SVT) Hur stor har den årliga procentuella minskningen av livsmedelsbutiker varit i Sverige sedan 1996? Svar: Den årliga procentuella minskningen av livsmedelsbutiker i Sverige har varit c:a 2% mellan åren 1996 och 2013.

63 Primitiva funktioner

64 Primitiva funktioner

65 Primitiva funktioner

66 Primitiva funktioner

67 Primitiva funktioner Den sökta funktionen:

68 Primitiva funktioner Vilken grad skall funktionen ha?
Vad skall (-1) multipliceras med för att det skall bli 1?

69 Primitiva funktioner Den sökta funktionen:

70 Primitiva funktioner

71 GENOMGÅNG 3.4 Integraler Integralberäkning med primitiv funktion
Tillämpningar och problemlösningar

72 Integraler OBS! Uppgift 3401!

73 Integraler

74 Integraler Integrand Övre integrationsgräns Integraltecken
Undre integrationsgräns Integrationsvariabel

75 Integraler OBS! 0,2

76 Integraler

77 Integraler

78 Integraler

79 Primitiva funktioner

80 Primitiva funktioner Funktion Primitiv funktion

81 Integraler Integral från 1 till och med 4

82 Integraler Integral från 1 till och med 4 12,3 2,1

83 Integraler Integral från 1 till och med 4 14,4

84 Integral

85 Integral

86 Integral

87 Integral

88 Funktion vs. Primitiv funktion

89 Funktion vs. Primitiv funktion

90 Hur lutar grafen? Hur lutar grafen i den punkt där x = 2?

91 Hur lutar grafen? Hur lutar grafen i den punkt där x = -1?

92 Hur lutar grafen? Hur stor är integralen mellan x = 1 och x = 2?

93 f(x) -- F(x) Vilken är f(x)? Vilken är F(x)?

94 f(x) -- F(x)

95 f(x) -- F(x) Hur kan man se på den gröna grafen hur stor den grå arean/integralen är?

96 f(x) -- F(x) 6,75 Hur kan man se på den gröna grafen hur stor den grå arean/integralen är?

97 Integral Beräkna integralen: -(x+1)(x-1)(x-5) SVAR: (128/3) c:a 42,67
36 (148/3) c:a 49,33

98 Integral/area Hur stor är arean mellan grafen och den positiva x-axeln? Hur stor är integralen mellan x = - 1 och x = 1? Hur stor är integralen från x = - 1 och x = 5? Hur stor är den samman- lagda arean mellan grafen och x-axeln från x = - 1 till och med x = 5? -(x+1)(x-1)(x-5) SVAR: (128/3) c:a 42,67 -(20/3) c:a 6,67 36 (148/3) c:a 49,33

99 Integral/area Hur stor är den samman- lagda arean mellan grafen och x-axeln från x = - 1 till och med x = 5? -(x+1)(x-1)(x-5) SVAR: (128/3) c:a 42,67 -(20/3) c:a 6,67 36 (148/3) c:a 49,33

100 Lutning/tangent Hur lutar grafen i den punkt där x = 2?
-(x+1)(x-1)(x-5) SVAR: (128/3) c:a 42,67 -(20/3) c:a 6,67 36 (148/3) c:a 49,33

101 Lutning/tangent Vilken ekvation har tangenten till grafen i den punkt där x = 2? -(x+1)(x-1)(x-5) SVAR: (128/3) c:a 42,67 -(20/3) c:a 6,67 36 (148/3) c:a 49,33

102 Lutning/tangent Rita in den räta linje som tangerar grafen i den punkt där x = 2? -(x+1)(x-1)(x-5) SVAR: (128/3) c:a 42,67 -(20/3) c:a 6,67 36 (148/3) c:a 49,33 Tangent: y = 9x - 9

103 Integral fnInt(X^3+X^2-X+2,X,2,3)
Hur stor är arean (integralen mellan grafen och x-axeln mellan x-värdena x = 2 och x= 3)? Lös på valfritt sätt. fnInt(X^3+X^2-X+2,X,2,3)

104 Integral

105 NpMa3c Muntligt delprov – Del A ht 2012

106 NpMa3c Muntligt delprov – Del A ht 2012
Vi löser denna med både handräkning och med räknare

107 NpMa3c Muntligt delprov – Del A ht 2012

108 MARKÖR HÄR!

109 NpMa3c Muntligt delprov – Del A ht 2012
Y1=(X/3)*(6-X)^2 EQUATION SOLVER Eqn: 0=nDeriv(Y1,X,X) nDeriv(Y1,X,X) X=0 Bound=(…

110 NpMa3c Muntligt delprov – Del A ht 2012

111 NpMa3c Muntligt delprov – Del A ht 2012

112 NpMa3c Muntligt delprov – Del A ht 2012

113 NpMa3c Muntligt delprov – Del A ht 2012
Varför är det inte OK med x = 8,5?

114 NpMa3c Muntligt delprov – Del A ht 2012

115 NpMa3c Muntligt delprov – Del A ht 2012

116 NpMa3c Muntligt delprov – Del A ht 2012
Hur gjorde Dennis?

117 Socrative

118 NpMa3c Muntligt delprov – Del A ht 2012