Kap 1 - Algebra och funktioner

En presentation över ämnet: "Kap 1 - Algebra och funktioner"— Presentationens avskrift:

1 Kap 1 - Algebra och funktioner

2 Funktioner

3 Funktioner

4 Funktioner VÄRDEMÄNGD DEFINITIONSMÄNGD

5 Räta linjens ekvation

6 Räta linjens ekvation m = 1

7 Räta linjens ekvation m = 6

8 Räta linjens ekvation

9 Räta linjens ekvation

10 Räta linjens ekvation

11 Andragradsekvationer

12 DESMOS Klicka på bilden för att gå till DESMOS

13 Buskar på rad Y = 5x + 3

14 Buskar på rad Y = 5x + 3

15 Buskar på rad Y = 5x + 3

16 Andragradsekvationer
Inget nollställe Ett nollställe (dubbelrot) Två nollställen NOLLSTÄLLE ÄR DETSAMMA SOM SKÄRNINGSPUNKT MED X-AXELN

17 Andragradsekvationer
NOLLSTÄLLEN

18 Andragradsekvationer
Lösningsformeln Halva koefficienten för x med ombytt tecken Kvadraten på halva koefficienten för x Konstanta termen med ombytt tecken X = SKRIV DETTA MED DINA EGNA ORD!

19 Andragradsekvationer
Symmetrilinje Minimipunkt

20 DESMOS Klicka på bilden för att gå till DESMOS

21 Logaritmer ”2 är 10-logaritmen för 100”

22 Logaritmer ”3 är 10-logaritmen för 1000”

23 Logaritmer ”x är 10-logaritmen för 7” ”x är 8-logaritmen för 5”

24 Logaritmer Enligt räknaren…

25 Logaritmer (1) (1) lg(3×4) = 1, lg(3)+lg(4) = 1, [test] (2) lg(3*4) = 1, lg(3)+lg(4) = 1, lg(4/3) = 0, lg(4)-lg(3) = 0, lg(3^4) = 1, *lg(3) = 1, (2) lg(4/3) = 0, lg(4)-lg(3) = 0, [test] (3) (3) lg(3^4) = 1, ×lg(3) = 1, [test] 25

26 Logaritmlagar Exempel: TESTA!

27 Logaritmlagar Exempel: TESTA!

28 Logaritmlagar Exempel: TESTA!

29 Logaritmer med olika baser
4 är 3-logaritmen för 81 4 är den exponent till 3 som ger 81 4 är vad 3 skall upphöjas till för att ge svaret 81

30 Logaritmer – ett exempel

31 Logaritmer – ett exempel
På räknaren: lg(17)/lg(7) = 1,

32 Logaritmer – samma sak?

33 Logaritmer – NEJ!

34 Halveringstid Y0 = begynnelsemängd T = halveringstid
X = 3/(lg(2))*2400 = 23917, x = (3/lg(2))*24000 = , [2,4 × 105] 34

35 Exponetialfunktioner & potensfunktioner

36 Potensfunktioner C är ”startvärde” x är förändringsfaktor
a kan exempelvis vara tid i år

37 Potensfunktioner C är ”startvärde” x är förändringsfaktor
a kan exempelvis vara tid i år Uppgift: Värdet på en villa ökade från 2,4 miljoner kr till 3,2 miljoner kr under en femårsperiod. Vilken är den genomsnittliga årliga procentuella värdeökningen? Lösning: Vi sätter den årliga förändringsfaktorn till x och får då: Svar: Värdet ökade med i genomsnitt 5,9 % per år.

38 Exponentialfunktioner
C är ”startvärde” a är förändringsfaktor x kan exempelvis vara tid i år

39 Exponentialfunktioner
C är ”startvärde” a är förändringsfaktor x kan exempelvis vara tid i år Fråga: En stad har folkmängden invånare. Folkmängden förväntas öka med 2% varje år. Hur lång tid tar det till dess att folkmängden är ? Lösning: Svar: Efter c:a 9 år är folkmängden

40 Exponentialfunktioner

41 Exponentialfunktioner

42 Exponentialfunktioner

43 Vilken är exponentialfunktionen?
Vad vet vi om a?

44 Vilken är exponentialfunktionen?
Jag hittar två punkter Exponentialfunktion Insättning av (0,5) ger:

45 Vilken är exponentialfunktionen?
Insättning av (1,4) ger: Den sökta exponentialfunktion:

46 Vilken är exponentialfunktionen?
Vad vet vi om a?

47 Vilken är exponentialfunktionen?
Vad vet vi om a?

48 Folkmängd Folkmängden ökar med 5 % varje år.
Fakta Folkmängden ökar med 5 % varje år. Första året ökar folkmängden med 750 personer. Uppgift Hur stor är folkmängden om 10 år?

49 Folkmängd Folkmängd från början: Folkmängd om 10 år:

50 Befolkningsproblem C är ”startvärde” x är förändringsfaktor
a kan exempelvis vara tid i år Uppgift: Värdet på en villa ökade från 2,4 miljoner kr till 3,2 miljoner kr under en femårsperiod. Vilken är den genomsnittliga årliga procentuella värdeökningen? Lösning: Vi sätter den årliga förändringsfaktorn till x och får då:

51 Befolkningsproblem C är ”startvärde” x är förändringsfaktor
a kan exempelvis vara tid i år Uppgift: Värdet på en villa ökade från 2,4 miljoner kr till 3,2 miljoner kr under en femårsperiod. Vilken är den genomsnittliga årliga procentuella värdeökningen? Lösning: Vi sätter den årliga förändringsfaktorn till x och får då: På räknaren: (3,2/2,4)^(1/5) = 1, … Svar: Värdet ökade med i genomsnitt 5,9 % per år.

52 Befolkningsproblem C är ”startvärde” a är förändringsfaktor
x kan exempelvis vara tid i år Fråga: En stad har folkmängden invånare. Folkmängden förväntas öka med 2% varje år. Hur lång tid tar det till dess att folkmängden är ? Lösning: Svar: Efter c:a 9 år är folkmängden

53 Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det invånare och år 2000 fanns det invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

54 Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det invånare och år 2000 fanns det invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen?

55 Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det invånare och år 2000 fanns det invånare i staden. Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år?

56 Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det invånare och år 2000 fanns det invånare i staden. Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

57 Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det invånare och år 2000 fanns det invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

58 Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det invånare och år 2000 fanns det invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

59 Befolkningsproblem HUR LAGRAR DU VÄRDEN I DIN RÄKNARE?
Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det invånare och år 2000 fanns det invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare? HUR LAGRAR DU VÄRDEN I DIN RÄKNARE?

60 Befolkningsproblem HUR LAGRAR DU VÄRDEN I DIN RÄKNARE?
Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det invånare och år 2000 fanns det invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare? HUR LAGRAR DU VÄRDEN I DIN RÄKNARE?

61 Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det invånare och år 2000 fanns det invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

62 Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det invånare och år 2000 fanns det invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

63 Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det invånare och år 2000 fanns det invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?