Kap 2 – Förändringshastigheter och derivator

En presentation över ämnet: "Kap 2 – Förändringshastigheter och derivator"— Presentationens avskrift:

1 Kap 2 – Förändringshastigheter och derivator

2 GENOMGÅNG 2.1 Ändringskvoter Begreppet derivata

3 Vad menar vi med lutning?
Hur lutar den röda kurvan vid pilarna? - + +

4 Att derivera termer x 1 x2 2x x3 3x2 x4 4x3 x5 5x4 xa axa-1
funktion derivata x 1 x2 2x x3 3x2 x4 4x3 x5 5x4 xa axa-1 Ser Du mönstret?

5 Vi söker lutningen…

6 DESMOS Länk till DESMOS

7 y = x³ - 3x² - x + 3 Vad heter den blå linjen? Länk till DESMOS

8 HASTIGHET Vad menas med begreppet hastighet? Ex. 80 km/h

9 HASTIGHET Jämför med Räta linjens k-värde!!

10 Ändringskvot Förändring i y-led Ändringskvot Förändring i x-led

11 Ändringskvot Var har du sett detta förr?

12 Ändringskvot

13 Ändringskvot

14 LINJERS LUTNING • (1,5) 2 steg i y-led • (0,3) 1 steg i x-led

15 LINJERS LUTNING Linjens lutning = • (1,5) ∆y = 2 • (0,3) ∆x = 1

16 LINJERS LUTNING

17 LUTNING I EN PUNKT

18 m = var linjen skär y-axeln
RÄTA LINJENS EKVATION k = linjens lutning m = var linjen skär y-axeln

19 RÄTA LINJENS EKVATION k = linjens derivata k = linjens lutning

20 DERIVATAN En introduktion

21 Begreppet derivata (x + h)

22 Begreppet derivata

23 KURVORS LUTNING VILKEN LUTNING HAR X-AXELN???
Negativ - Positiv + Positiv + Lutning = 0 VILKEN LUTNING HAR X-AXELN??? VILKEN LUTNING HAR Y-AXELN???

24 Begreppet derivata

25 Lutning – en animering Klicka på bilden.

26 Derivative Tracer (GeoBra)

27 Derivatans definition Deriveringsregler
GENOMGÅNG 2.2 Gränsvärde Derivatans definition Deriveringsregler

28 DERIVATANS DEFINITION

29 Derivatans definition

30 Derivatans definition

31 Derivatans definition

32 Derivatans definition
h

33 Derivatans definition
h går

34 Derivatans definition
h går mot

35 Derivatans definition
h går mot noll

36 Derivatans definition

37 Att derivera termer x 1 x2 2x x3 3x2 x4 4x3 x5 5x4 xa axa-1
funktion derivata x 1 x2 2x x3 3x2 x4 4x3 x5 5x4 xa axa-1 Ser Du mönstret?

38 y = x³ - 3x² - x + 3 Vad heter den blå linjen? Länk till DESMOS

39 y = x³ - 3x² - x + 3

40 Derivatans definition

41 Sekant sekant En sekantlinje av en kurva är linjen som skär två eller fler punkter på kurvan. Notera att detta begreppet kommer från latinets "secare" som betyder "att skära" eller "att klippa" och är inte en referens till den trigonometriska funktionen sec.

42 Tangent Tangent (matematik) – inom matematiken är en tangent en linje som skär en kurva i en punkt, och som dessutom i denna punkt har samma lutning som den givna kurvan, se tangent

43 Begreppet derivata

44 Begreppet derivata

45 Begreppet derivata DERIVATANS DEFINITION

46 Derivatans definition
Boken sidan 81

47 Deriveringsregler x 1 x2 2x x3 3x2 x4 4x3 x5 5x4 xa axa-1
f(x) [funktion] f’(x) [derivata] x 1 x2 2x x3 3x2 x4 4x3 x5 5x4 xa axa-1 Ser Du mönstret? Var hittar du detta i formelbladet?

48 Deriveringsregler, exempel
Vad hände med ?

49 Derivatan av en konstant
DESMOS - [ y = 4 ]

50 Kurva med derivata

51 Kurva med derivata Vid vilka värden på x är kurvans lutning
lika med noll? Kurvans funktion är: Kurvans derivata är: Vi sätter derivatan lika med noll:

52 Kurva med derivata Vilka värden har y vid kurvans extrem- punkter?

53 Kurva med derivata Vi sätter in x = -1 Vi sätter in x = +1
Vilka värden har y vid kurvans extrem- punkter? Vi sätter in x = -1 Vi sätter in x = +1 Extrempunkternas koordinater:

54 Deriveringsregler, exempel

55 DESMOS Graf 1 Graf 2 Graf 3 Graf 4

56 GENOMGÅNG 2.3 Deriveringsregler 1

57 Uppgift 2130 A (1,2)

58 Växande och avtagande

59 Funktion

60 Derivata

61 Funktion och derivata

62 LärarDalle

63 LärarDalle

64 Derivera med derivatans definition

65 Deriveringsregler x 1 x2 2x x3 3x2 x4 4x3 x5 5x4 xn nxn-1
f(x) [funktion] f’(x) [derivata] x 1 x2 2x x3 3x2 x4 4x3 x5 5x4 xn nxn-1

66 Vi deriverar…

67 Fundering Hur kan en funktion se ut som har detta utseende på derivatan?

68 Fundering Hur kan en funktion se ut som har detta utseende på derivatan?

69 Fundering Hur kan en funktion se ut som har detta utseende på derivatan?

70 Fundering Hur kan en funktion se ut som har detta utseende på derivatan?

71 Vi deriverar…

72 Deriveringsregler x-1 -x-2 (-1*x-2) x-2 -2x-3 x-3 -3x-4 x-4 -4x-5
f(x) [funktion] f’(x) [derivata] x x-2 (-1*x-2) x x-3 x x-4 x x-5 x x-6 xn nxn-1

73 Vi deriverar… OBS!

74 Vi deriverar…

75 Vi deriverar… Beräkna f´(2) Uppgift från Matematik-boken
(2/5) × 2^(-3/5) = 0, …

76 Vi deriverar… Beräkna f´(2) Uppgift från Matematik-boken
(2/5) × 2^(-3/5) = 0, …

77 Vi deriverar… Uppgift från Matematik-boken ?

78 Vi deriverar… Uppgift från Matematik-boken ?

79 Vad heter tangenten? Vilket ”namn” har den blå tangenten till kurvan?

80 Vad heter tangenten? Vilket ”namn” har den blå tangenten till kurvan?

81 Vad heter tangenten?

82 Hur ser tangenten ut?

83 Vi deriverar… Uppgift från Matematik-boken Bestäm f´(x) om

84 GENOMGÅNG 2.4 Deriveringsregler 2

85 Deriveringsregler x 1 x2 2x x3 3x2 x4 4x3 x5 5x4 xn nxn-1
f(x) [funktion] f’(x) [derivata] x 1 x2 2x x3 3x2 x4 4x3 x5 5x4 xn nxn-1

86 Deriveringsregler (Repetition)
f(x) [funktion] f’(x) [derivata] x 1 x2 2x x3 3x2 x4 4x3 x5 5x4 xa axa-1

87 Deriveringsregler (Repetition)
f(x) [funktion] f’(x) [derivata] x x-2 (-1*x-2) x x-3 x x-4 x x-5 x x-6 xa axa-1

88 Vi deriverar…(Repetition)
Uppgift 2332, sid 98 Matematik 3bc-boken Beräkna f´(2) (2/5) × 2^(-3/5) = 0, …

89 Hur ser derivatan ut?

90 Hur ser derivatan ut?

91 Deriveringsregler

92 Vi deriverar…

93 Derivatan av funktionen y = ax

94 Derivatan av funktionen y = ax
Uppgift 2436, Sid 107 Matematik 3bc-boken

95 ln e Vad visar din räknare om du slår in

96 ln e & lg 10

97 Vi deriverar… VAD INNEBÄR DETTA?

98 Vi deriverar… VAD INNEBÄR DETTA?

99 Vi deriverar… VAD INNEBÄR DETTA?

100 Naturliga logaritmer

101 Logaritmlagar Jämför med formelbladet

102 Logaritmer ett exempel
Uppgift från Matematik 3bc-boken (exakt) (närmevärde med tre decimaler) (exakt) (närmevärde med tre decimaler)

103 Logaritmer ett exempel
Uppgift från Matematik 3bc-boken

104 Logaritmer ett exempel
Uppgift från Matematik 3bc-boken

105 GENOMGÅNG 2.5 2.5 Grafisk och numerisk derivering

106 ln e & lg 10 (rep.)

107 Uppgift 2130 (rep.) 3 2,5 A (1,2) 2,1 2,01 2

108 Hur ser derivatan ut? (rep.)

109 Hur ser derivatan ut? (rep.)

110 Grafisk och numerisk derivering
Sid 113 Matematik 3bc-boken

111 Grafisk och numerisk derivering
Vilken lutning har denna kurva där x = 3?

112

113 Grafisk och numerisk derivering
Vilken lutning har denna kurva där x = 3?

114 Grafisk och numerisk derivering

115 Grafisk och numerisk derivering

116 Grafisk och numerisk derivering

117 Grafisk och numerisk derivering

118 Grafisk och numerisk derivering

119 Grafisk och numerisk derivering

120 Grafisk och numerisk derivering

121 Derivering med derivatan

122 MARKÖR HÄR!

123 Bestäm tangenten till denna kurva
Bestäm tangenten till denna kurva där x = 2

124 Grafisk och numerisk derivering
från Matematik 3c-boken

125 Vi kontrollerar…

126 Grafisk derivering med räknare
. Bestäm ett närmevärde med 2 decimaler till då \Y1=3X*0.7^X Tryck [2ND] + CALC Svar:

127 Numerisk derivering med räknare
. Bestäm ett närmevärde med 2 decimaler till då Med räknare ((3*2.1*0,7^2.1)-(3*1.9*0,7^1.9))/0.2 Svar:

128 Numerisk derivering med räknare
. Bestäm ett närmevärde med 2 decimaler till då Med räknare Svar:

129 Derivering med räknarens inbyggda funktion
. Bestäm ett närmevärde med 2 decimaler till då Med räknare Tryck <MATH> + 8 nDeriv(3x*0,7^x,x,2) Mata in värden enligt nedan Tryck <Enter> Svar:

130 Derivering med räknarens inbyggda funktion TI-82, Äldre TI-84 etc.
Bestäm ett närmevärde med 2 decimaler till då Med räknare Tryck <MATH> + 8 Mata in värden enligt nedan nDeriv(3X*0,7^X,X,2) Tryck <Enter> Svar:

131 Vi jämför…

132 Socrative