Kap. 3 Derivator och Integraler

En presentation över ämnet: "Kap. 3 Derivator och Integraler"— Presentationens avskrift:

1 Kap. 3 Derivator och Integraler
Matematik 4 Kap. 3 Derivator och Integraler

2 Innehåll 3.1 Derivator och deriveringsregler 3.2 Grafer
3.3 Differentialekvationer 3.4 Integraler 3.5 Tillämningar och problemlösning

3 3.1 Derivator och deriveringsregler

4 Kort om derivator

5 Kort om derivator

6 OBS! konstant derivera term för term

7 Hittar du denna i formelbladet?
Produktregeln Hittar du denna i formelbladet?

8 Hittar du denna i formelbladet?
Kvotregeln Hittar du denna i formelbladet?

9 Hittar du denna i formelbladet?
Derivatan av y = tan x Hittar du denna i formelbladet? Quod erat demonstrandum Uppslagsordet ”Q.E.D” leder hit. För den engelska förkortningen, se Kvantelektrodynamik. Quod erat demonstrandum (Q.E.D.) är en latinsk fras som ungefär kan översättas till svenska som "det som var menat att bli demonstrerat" eller "vilket skulle bevisas". Förkortningen används inom matematiken för att visa att ett bevis är slutfört (med önskat resultat). Skrivsättet är en gammal tradition. Redan de gamla grekerna, inklusive Euklides och Archimedes, klargjorde på detta sätt, fast på grekiska, att ett bevis var slutfört. Motsvarande svenska fraser är "vilket skulle bevisas" (förkortas V.S.B.) eller alternativt "vilket skulle visas" ("VSV", före stavningsreformen 1906 "HSB", 'Hvilket…'). Idag används även symbolen ■ (ifylld kvadrat) för att markera att ett bevis är avslutat, en notation som infördes av Paul Halmos. Praktiskt skrivs förkortningen "Q.E.D." eller den svenska motsvarigheten "V.S.B." i slutet av bevis, efter svaret. quod erat demonstrandum

10 Hittar du denna i formelbladet?
Derivatan av y = ln x Hittar du denna i formelbladet?

11 Derivatan av trigonometriska funktioner
Hur kan man visa att regler för derivering av trigonometriska funktioner endast gäller om vinklarna anges i radianer? Genom att utföra samma beräkning med en räknare som först ställts in på radianer och sedan på grader (degree). OBS! 1 RAD  57, °

12 Derivatan av trigonometriska funktioner
Hur kan man visa att regler för derivering av trigonometriska funktioner endast gäller om vinklarna anges i radianer? OBS! /4 RAD = 45°

13 Derivatan av trigonometriska funktioner
En liten film som visar varför man skall använda radianer när man använder derivatan till trigonometriska formler.

14 Kedjeregeln (Uppgift 3178)

15 Kedjeregeln (Uppgift 3178)
Volymen V beror av radien r som i sin tur beror av tiden t yttre derivatan × inre derivatan

16 Kedjeregeln (Uppgift 3178)
Volymen V beror av radien r som i sin tur beror av tiden t yttre derivatan × inre derivatan

17 Uppgift 3178

18 Uppgift 3178

19 3.2 Grafer och derivator

20 Grafer och derivator

21 Grafer och derivator

22 Grafer och derivator 1, 3, 4 5 1, 6 2, 3, 5 1, 3, 4 5 1, 6 2, 3, 5

23 Olika typer av grafer (Se sidan 120)

24 Olika typer av grafer (Se sidan 120)

25 Olika typer av grafer (Se sidan 120)

26 Olika typer av grafer (Se sidan 120)

27 Olika typer av grafer (Se sidan 120)

28 Hur skall man tänka för att hitta asymptoterna till denna funktion?
Olika typer av grafer Hur skall man tänka för att hitta asymptoterna till denna funktion?

29 Har spetsen någon lutning?
Olika typer av grafer Har spetsen någon lutning?

30 Olika typer av grafer

31 Olika typer av grafer

32 Olika typer av grafer

33 Asymptot Vad heter denna graf?
Inom matematiken är en asymptot en rät linje (eller annan enkel kurva) som en funktion närmar sig allt mer när man närmar sig definitionsmängdens gränser. Huvudsakliga användningsområdet är att approximera hur en funktion uppför sig i något område (vanligen då variabeln är mycket stor, det vill säga går mot oändligheten). Vad heter denna graf? Källa:

34 3.3 Differentialekvationer
En ekvation med en obekant funktion och en eller flera av denna funktions derivator kallas för en differentialekvation. Differentialekvationens lösning är en funktion.

35 Differentialekvationer, exempel 1
Undersök om: VL = HL, alltså är funktionen en lösning.

36 Differentialekvationer, exempel 2
Undersök om:

37 Differentialekvationer, exempel 2
Undersök om: VL ≠ HL, alltså är funktionen inte en lösning.

38 Resonemang och begrepp
Vad är det för skillnad mellan att derivera en summa av två funktioner och att derivera en produkt av två funktioner? Förklara hur man skriver exponentialfunktionen med e som bas. Varför väljer man gärna e som bas i exponentialfunktioner?

39 Resonemang och begrepp
y = f(x) + g(x) y’ = f’(x) ’ g’(x) y = f(x) * g(x) y’ = f(x) * g’(x) + f’(x) * g(x) 7 = e^ln7 7^x = (e^ln7)^x = e^(ln7)x Enklare derivering y=lnx 〖 y〗^′=1/𝑥-y=lg x 〖 y〗^′=1/(x∗ln⁡(10) ) I en differentialekvation utgörs svaret av en funktion

40 Resonemang och begrepp
y = f(x) + g(x) y’ = f’(x) ’ g’(x) y = f(x) * g(x) y’ = f(x) * g’(x) + f’(x) * g(x) 7 = e^ln7 7^x = (e^ln7)^x = e^(ln7)x Enklare derivering y=lnx 〖 y〗^′=1/𝑥-y=lg x 〖 y〗^′=1/(x∗ln⁡(10) ) I en differentialekvation utgörs svaret av en funktion

41 Resonemang och begrepp
y = f(x) + g(x) y’ = f’(x) ’ g’(x) y = f(x) * g(x) y’ = f(x) * g’(x) + f’(x) * g(x) 7 = e^ln7 7^x = (e^ln7)^x = e^(ln7)x Enklare derivering y=lnx 〖 y〗^′=1/𝑥-y=lg x 〖 y〗^′=1/(x∗ln⁡(10) ) I en differentialekvation utgörs svaret av en funktion

42 Ett exempel y = f(x) + g(x) y’ = f’(x) ’ g’(x) y = f(x) * g(x)
y’ = f(x) * g’(x) + f’(x) * g(x) 7 = e^ln7 7^x = (e^ln7)^x = e^(ln7)x Enklare derivering y=lnx 〖 y〗^′=1/𝑥-y=lg x 〖 y〗^′=1/(x∗ln⁡(10) ) I en differentialekvation utgörs svaret av en funktion

43 3.4 Integraler

44 Integraler

45 Integraler Integrand Övre integrationsgräns Integraltecken
Undre integrationsgräns Integrationsvariabel

46 Integraler OBS!

47 Integraler

48 Integraler

49 Integraler

50 Integraler

51 Integraler På räknaren rjCalc: (-cos(5)+3×5) = 14,7163378145
(-cos(5)+3×5)-(-cos(1)+3×1) = 12,

52 Integraler Beräkna det streckade områdets area exakt och med 3 decimaler.

53 Integraler Beräkna det streckade områdets area exakt och med 3 decimaler.

54 Funderare

55 Funderare

56 Funderare

57 Funderare

58 Funderare

59 Uppgift 3427 Bestäm det färgade områdets area.

60 Uppgift 3427

61 Uppgift 3427

62 Uppgift 3427 Bestäm det färgade områdets area. Svar: C:a 1,69 a.e.

63 Lös integral med hjälp av graf

64 Lös integral med hjälp av graf
Konstanten?

65 Lös integral med hjälp av räknare

66 Lös integral med hjälp av algebra

67 Lös integral med hjälp av algebra

68 3.5 Tillämpningar och problemlösning

69 Exempel från det nationella provet

70 Exempel från det nationella provet

71 Exempel från det nationella provet
Svaret är kollat mer Mathleaks! Det är rätt! Svar: Rotationskroppens volym är c:a 21 v.e.

72 Täthetsfunktion för normalfördelning

73 Täthetsfunktion – TI-82

74 Täthetsfunktion – TI-84 Plus

75 Täthetsfunktion för normalfördelning

76 Täthetsfunktion för normalfördelning

77 Täthetsfunktion för normalfördelning
Hur lägger Du in täthetsfunktionen i din räknare?

78 3.6 Rotationsvolymer, uppgift 3605

79 3.6 Rotationsvolymer, uppgift 3606

80 Täthetsfunktion för normalfördelning

81 Täthetsfunktion för normalfördelning

82 Täthetsfunktion för normalfördelning

83 Täthetsfunktion för normalfördelning

84 Rubrik

85 Rubrik

86 Rubrik

87 Rubrik