Kajsa Bråting  H. Sollervall: Tal och de fyra räknesätten, Studentlitteratur.

En presentation över ämnet: "Kajsa Bråting  H. Sollervall: Tal och de fyra räknesätten, Studentlitteratur."— Presentationens avskrift:

1 Kajsa Bråting kajsa.brating@did.uu.se

2  H. Sollervall: Tal och de fyra räknesätten, Studentlitteratur.

3  Aritmetik=räknelära  Arithmos=tal (på grekiska) Under Antiken skiljde man mellan  Logistik (köpmännens matematik)  Aritmetik (de teoretiska matematikernas matematik)

4  Elementa är ett verk som sammanfattar den grekiska antikens matematik. Elementa är skriven av bland andra Euklides (300 f Kr).  Elementa består av 13 böcker som är indelade i plangeometri (bok I-VI), aritmetik (bok VII-IX) inkommensurabla storheter (bok X), rymdgeometri (bok XI-XIII).  Näst efter Bibeln är Elementa den mest spridda boken i Västerlandet.

5 Euklides Elementa, bok VII, definition 1 & 2: Def 1: En enhet är det på grund av vilket vart och ett av de ting som existerar kallas ett. Def 2: Ett tal är en mångfald av enheter.

6 Nu lämnar vi Antiken och går in i modern tid!

7  Addition av positiva heltal.  Några olika sätt att räkna addition.  Uppdelning i termer.  Subtraktion av positiva heltal.  Några olika sätt att räkna subtraktion.  Multiplikation av positiva heltal.  Några olika sätt att räkna multiplikation.  Faktorisering och primtal.

8  Addition: Term Term Summa

9 Addition handlar om att lägga till. Jag har två äpplen och lägger till ett. Då har jag 2+1=3 äpplen. ╀ =

10 Vi lägger samman antal av samma sort! Det är inom matematiken inte självklart vad vi får om vi… …lägger samman två äpplen och ett päron. ╀ =

11 Ett bra sätt att tolka additioner är att använda tallinjen. 3+5=8 kan ses som en förflyttning på tallinjen.

12 Vi kan också ta ett tre-steg plus ett fem-steg. I Sollervalls bok kallas dessa pilar för talpilar.

13

14

15 Denna lag gäller för alla positiva heltal a och b.

16

17 (a+b)+c=a+(b+c) Denna regel gäller för alla positiva heltal a, b och c. Exempel: (2+3)+4=2+(3+4)

18 348+291=? Ex 1. Räkna ental, tiotal och hundratal var för sig: 348+291=300+40+8+200+90+1=500+130+9=639 Ex 2. Uppställning: 348 +291 639

19 Tiokamrater: 10=1+91 och 9 är tiokamrater 10=2+82 och 8 är tiokamrater 10=3+7. 10=4+6. 10=5+5. 10=6+4 osv 10=7+3 10=8+2 10=1+9 Alltså! Två tal är tiokamrater om deras summa är lika med tio.

20  Subtraktion innebär att ta bort.  Jag har 3 äpplen och äter upp 1. Då har jag 3-1=2 äpplen kvar.  Vi räknar ut 3-1=2 genom att utgå från 3 och ta bort 1. Sollervall kallar detta tänkande för Borttagningsmetoden. -=

21 Utfyllnadsmetoden

22  Subtraktion: 7-2=5 Term Term Differens

23  Gäller kommutativa lagen respektive associativa lagen vid subtraktion mellan två positiva heltal?

24  Multiplikation: 7·2=14 Faktor Faktor Produkt

25  Exempel: Hur många dagar är 5 veckor?  7+7+7+7+7=35 dagar  Vi kan uttrycka svaret lite mera kortfattat, som en multiplikation: 5·7=35 Vi ska nu titta närmare på 3 olika sätt att tolka produkten 5·7=35

26 .

27 Tolkning 2

28 Tolkning 3

29 Varje upprepad addition kan skrivas som en multiplikation. Exempel: Hur många decennier går det på ett sekel? 10+10+10+…+10=10·10=100 10 stycken 10:or

30  Gäller kommutativa lagen vid multiplikation mellan två positiva heltal?

31 7·239=7·(200+30+9)=7·200+7·30+7·9= =1400+210+63=1673 Obs! Vi har multiplicerat ett tal med en summa av termer. Man säger på mattespråk: Multiplikationen är distributiv (över addition).

32 För alla positiva heltal a, b och c gäller att a·(b+c)=a·b+a·c

33

34 239·57=(200+30+9)·(50+7) =200·50+200·7+30·50+30·7+9·50+9·7 =10000+1400+1500+210+450+63 =13623

35  Att faktorisera innebär att skriva ett tal som en produkt av två eller flera faktorer.  Exempel: Vi kan faktorisera talet 6 genom att skriva det som exempelvis 2·3 eller 1·6 2·3=61·6=6

36  Hur kan vi faktorisera talet 5?  -Jo, som 5·1 eller 1·5.  Vissa heltal går bara att faktorisera som talet självt multiplicerat med 1. Sådana tal kallas Några andra sätt finns inte! PRIMTAL

37  Lite mera formellt kan vi skriva: Ett primtal är ett tal som är större än 1 och som bara är jämnt delbart med 1 och sig självt.

38 12 är inte ett primtal, men 11 är ett primtal.

39 Varje positivt heltal är antingen ett primtal eller kan skrivas som en produkt av primtal på precis ett sätt. Faktum är att detta är en sats inom matematiken som kallas Aritmetikens fundamentalsats.