Tails and outliers in financial time series Examensarbete, Fredrik Strandberg HypoVereinsbank Risk Control, München

Examensarbete, Fredrik Strandberg Situation och målsättning Situation: Kovariansen mellan ett antal urvalda ”representativa” tidserier av längd n  250 skall skattas som vanlig stickprovsvarians Intresserade av ”ej representativa”, typiskt inflytelserika värden - ev. elimineras dessa! Mål: Hitta dessa s k ”outliers”!

Examensarbete, Fredrik Strandberg Vad är en outlier? Tekniska fel: Överföringsfel, decimalfel etc …12.34,12.35,1234,12.33,12.34, … Övriga fel (”marknadsoutliers”?): Finansiella avkastningar oftan nästan normalfördelade – men tjocksvansade: => Def. svansen som outlier m.a.p. N-förd???

Examensarbete, Fredrik Strandberg …m.a.p. en modell! Outlier := realiserat värde: mkt avvikande från vad det ”borde” vara. Alltså: En outlier är alltid en outlier map. en modell! Olika former i olika sammanhang (Univariat, multivariat, …)

Examensarbete, Fredrik Strandberg Klassificering av outliers Univariata: (intuitiv) Outlier map. sin egen univariata serie Multivariata: (en tidpunkt) Outlier map. sin egen multivariata serie Marginal: (Viktigast) Outlier map. de andra komponentserierna i en fix tidpunkt

Examensarbete, Fredrik Strandberg IID-data Standard: En kvantil!  +/- 3  etc Hake 1: Beroende - kan ignoreras Hake 2: Icke-stationäritet - stort problem!! 2 klasser av problem: - En outlier döljer andra outliers (masking) - En outlier får ett korrekt värde att verka vara en outlier (swamping)

Examensarbete, Fredrik Strandberg Robust skattning av  1. (Ev. Släng bort de 1 % största värdena) 2. Ersätt medelvärdet med medianen 3. Ersätt kvadraterna med absolutbelopp 4. Ta medelvärde eller medianen (MAD) 5. Kör Monte-Carlo och skala om till konsistens (Under H 0 : Inga outliers)

Examensarbete, Fredrik Strandberg Finans: Typiska egenskaper Avkastningen över [t-1,t]: [P(t)-P(t-1)]/P(t-1)  log(P(t)/P(t-1)) =: X(t) Icke-konstant volatilitet - kluster! Ungefär: t(f)-fördelad, typiskt f  (3,5) Ungefär: X  WN (utan minne) MEN: Processen X 2 eller |X| har ett (långt) minne! (Långminnet skall dock tolkas försiktigt)

Examensarbete, Fredrik Strandberg GARCH Typisk form (X = log-avkastningen) X(t) = 0 +  (t)Z(t) där Z(t)  IID N(0,1) eller Z(t)  IID t(f)  (t), Z(t) oberoende  (t) =  0 +  1 X 2 (t-1)+  1  2 (t-1) ”volatilitet” Stationär omm  0 > 0 och  1 +  1 < 1 ”EWMA”:  0 = 0,  1 =0.94,  1 = 0.06

Examensarbete, Fredrik Strandberg Parameterskattning ML: L(  0,  1,  1 ) :  0 > 0 och  1 +  1 < 1 Obetingad varians EX 2 =  0 /(1-  1 -  1 ) =:  2 ( Ser nu:  2 (t) =   2 +  1 X 2 (t-1)+  1  2 (t), med  +  1 +  1 =1, dvs ett viktat medelvärde) Skatta  2 med stickprovsvarians =>L(  1,  1 )

Examensarbete, Fredrik Strandberg Sampelstorlek n stort: Modell med konstanta parametrar passar kanske inte längre! (klustren…) Tycks kunna ge upphov till feltolkad ”långminneseffekt” (Mikosch & Starica) Finns flera goodness-of-fit tester. n litet: Numeriskt problem: Ojämn ML-yta med många lokala maxima. För n < 400 gör MATLAB, Splus etc ofta fel

Examensarbete, Fredrik Strandberg Outliers i tidsserier Idé (Fox, 1973): Istället för tjock svans, lägg till en term  vid en okänd tidpunkt  Modellera sedan effekterna av  för t  =  X*(t) = X(t) +  (B)  I(t=  ) (X*(t) observerad, X(t) ej observerad)  (B) är sekvensen av effekter från 

Examensarbete, Fredrik Strandberg Additiva outliers Enklast: Additativa outliers (AO) X*(t) = X(t) +  I(t=  ) (Påverkar bara vid t=  ). Således  (B) = 1

Examensarbete, Fredrik Strandberg Innovativa outliers En AO i bruset. För en ARMA-modell  (B)X(t) =  (t)Z(t) är modellen:  (B)X*(t) =  (t)[Z(t)+  I(t=  )] => X*(t) = X(t) + [  (t)/  (B)]  I(t=  ) Således  (B) =  (t)/  (B)

Examensarbete, Fredrik Strandberg The Joint Estimation method ”JE-methoden” för ARMA Chen och Liu, (Tsay, 1986) 1. Antag först  är känd. Antag modell. 2. Filtrera X*(t) med underliggande => residualerna: r(t) = X*(t)  (t)/  (t) För AO: r(t) =  I(t=  )  (t)/  (t) + Z(t) För IO:r(t) =  I(t=  ) + Z(t)

Examensarbete, Fredrik Strandberg JE-metoden för ARMA 3. Definiera en ”indikatorserie” x(t) så att r(t) kan skrivas som en regression r(t) =  x(t) + Z(t) x(t)=0 för t < , x(  ) = 1. För t=  +k är x(  +k) = -  (k)/  (k) för AO x(  +k) = 0, för IO

Examensarbete, Fredrik Strandberg JE-metoden för ARMA 4. Nu kan outliern  skattas som vanligt! 5. Standardisera skattningen  ’ med   6. Gör detta för alla  och använd max|  ’/   | = M(  ) som test-statistika 7. Kör Monte Carlo och undersök fördelningen av M(  ) under H 0 :  = 0 8. Metod: Om outlier, ta bort den och iterera!

Examensarbete, Fredrik Strandberg JE för GARCH Transformera GARCH till ARMA: [1 -  (B) -  (B)]X 2 (t) = [1 -  (B)][X 2 (t)-  2 (t)] +  0 Använd nu JE-metoden, enklast på IO. Resultat: Fungerar förvånansvärt bra, omm 1. ”Hyfsad” serie 2. Välskattad GARCH

Examensarbete, Fredrik Strandberg Marginal outliers 1. Ansätt multivariat normalfördelade 2. För fix tidpunkt: Betingade marginalfördelningen också normal, med kända moment. 3. Gör konfidensintervall! 4. Den standardiserade variabeln är dock snarare t(4)-fördelad än N(0,1).

Examensarbete, Fredrik Strandberg Multivariata outliers Multidimensionellt spridningsmått: Mahalanobis-avståndet: MD 2 = x(t) T  -1 x(t) Ungefär  2 -fördelat Ex: 11 sept 2001 multivariat outlier (WTC)

Examensarbete, Fredrik Strandberg Fasrummet Betrakta fasen av en univariat serie. WN => ett sfäriskt ”moln” (Tex) AR(p) => ett elliptiskt moln Deterministisk process => deterministisk struktur Använd nu MD >  2 som outlier-detektor! (Funkar bra!)

Examensarbete, Fredrik Strandberg Extremvärdesteori För univariata ”stora” outliers Modell för svansen. Antag svansen på formen x -  L(x), L(x) en långsamt varierande funktion  kallas tail index. Skattas ofta med Hill-skattningen, eller någon variant av denna Komplement till medelvärdesbaserad teori

Examensarbete, Fredrik Strandberg POT Vanligast: POT (Peaks Over Threshold) Steg 1: För ett sampel y 1,y 2,…, y n med okänd fördelningsfunktion F, välj en hög tröskel u. Betrakta nu observationerna ovan u, x 1,x 2,…, x N(u) IID-fallet: N(u)  Bin(n,P[y>u])

Examensarbete, Fredrik Strandberg POT Steg 2. Vill inte bara veta hur ofta ett överskott inträffar, utan även storleken! Betrakta överskotten x i -u. Överskottens fördelning F u approximeras av den Generaliserade Paretofördelningen G( ,  ) = 1 - (1+  x/  ) -1/  ,  kan skattas med ML

Examensarbete, Fredrik Strandberg POT Steg 3. Beteckna svansen F’ := 1-F För överskottens svans fås att F’ u (y)=P[x - u > y|X > y] = F’(u + y)/F’(u) Skatta F’(y) med N(u)/n, F’ u (y) med G( ,  ) => erhåller skattning för F’(u+y) !!!

Examensarbete, Fredrik Strandberg GARCH+EVT Idé: Kombinera GARCH för  (t) med EVT Applicera POT-metoden på Z(t) = X(t)/  (t) Z(t) mer likt ett stationärt WN än X(t) => Betingat riskmått (VaR etc…) Bra? Teoretiskt: JA! I praktiken: NJA! (Nu två besvärliga ML-skattningar)

Examensarbete, Fredrik Strandberg Sammanfattning GARCH svårskattad (ML) för korta serier En outlier är en outlier map. en modell! Tidsserier: JE-metoden för ARMA bra Multivariat: MD 2 >  2 fungerar bra! Univariat: Kan använda detta på fasvektorn EVT: Modell för svansen. Bara ”stora” data betraktas => bör ha lång serie