SPÄNNING & TÖJNING NORMALSPÄNNING Byggnadsmekanik gk 4.1 SPÄNNING & TÖJNING Om kraften P angriper i tvärsnittets tyngdpunkt är normalspänningen jämt fördelad över ytan. Begreppen spänning och töjning samt elastisk modell för spänings-töjningssamband presenteras. Begreppen tillämpas på stänger. NORMALSPÄNNING Normalspänningen kan betraktas som en utbredd kraft vars resultant är normalkraften. Båda stängerna har samma normalkraft men fall 1 är hårdare belastat eftersom normalkraften bärs av en mindre tvärsnittsarea. Ett relevant mått på hur hårt materialet är belastat är normalkraften per ytenhet. Denna storhet kallas normalspänning  Normalspänningen är två gånger mindre i fall 2.

Byggnadsmekanik gk 4.2 Normalspänningen är positiv om stången utsätts för en dragkraft och är negativ om stången utsätts för en tryckkraft. En mera generell definition erhålls om normalspänningen inte är jämnt fördelad över tvärsnittsarean. En infinitesimal del dA av snittytan belastas av en infinitesimal del dN av normalkraften. dragspänning tryckpänning

Exempel 1: skjuvspänning i nit Byggnadsmekanik gk 4.3 SKJUVSPÄNNING Exempel 1: skjuvspänning i nit Tvärkraften V ger upphov till en skjuvspänning  som verkar parallellet med snittytan. Två plattstål är skarvade med en nit, med diameter d = 4 mm. Jämvikten av vänstra delen av förbandet ger tvärkraften V som verkar i niten. Skjuvspänningen antas vara jämnt fördelad över snittytan.   Om skjuvspänningen är jämt fördelad över ytan: En generellare definition av skjuvspänningen är:

Byggnadsmekanik gk 4.4 NORMALTÖJNING En mera generell definition erhålls om normaltöjningen inte är konstant längs stången, t. ex. om stångens tvärsnittarea varierar. Förskjutningen i x-led av en punkt är u. En stång belastad med en axiell last undergår en längdändring . Relativ längdändring, d.v.s. längdändring dividerad med ursprunglig längd kallas för normaltöjning . Normaltöjningen är en dimensionslös storhet.   Töjningen i denna punkt är: du är längdändringen för en stång med infinitesimal längd dx. Den totala längdändringen hos stången är:

SKJUVTÖJNING MATERIALEGENSKAPER     Byggnadsmekanik gk 4.5 SKJUVTÖJNING MATERIALEGENSKAPER Skjuvtöjningen  beskriver i vilken grad en från början rätt vinkel förändras under belastning. Exempel: en kvadratisk skiva belastad med en skjuvlast ändrar form till en romb. Skjuvtöjningen  definieras som ändringen av vinkeln . Skjuvtöjningen är dimensionslös och är positiv om vinkeln minskar. Alla material har en mikrostruktur uppbyggt av molekyler och atomer. Om man betraktar en bit material som är stor i förhållande till mikrostrukturen så behöver man inte ta hänsyn till denna, utan kan betrakta materialet som kontinuerligt, d.v.s. som en jämnt utsmetad massa. Ett material som har samma egenskaper överallt är homogent medan ett material där egenskaper varierar y rymden är heterogent. Ett material som har samma egenskaper i alla riktningar är isotrop medan ett material som har olika egenskaper I olika riktningar är anisotrop. Denna kurs behandlar material som är kontinuerliga, homogena och isotropa.    

Byggnadsmekanik gk 4.6 MATERIALPROVNING Ett enaxiellt dragprov används för att bestämma materialets egenskaper. En stång av materialet belastas av en dragkraft. Normalspänningen och normaltöjningen registreras under ökande belastning. Ett typiskt resultat visas på figuren bredvid. dragprov Båda tvärsnittsarean och kraften P minskar kraftigt vid “necking”. Den verkliga spänningen ökar vid “necking” (i kurvan övanför beräknas  genom att anta A konstant). A : initial area L : initial längd  : längdändring

LINJÄRT ELASTISK STÅNG Byggnadsmekanik gk 4.7 LINJÄRT ELASTISK STÅNG I praktiken belastas inte strukturer över e och enbart det linjära elastiska delen kommer att studeras. Det linjära elastiska området karakteriseras av:  stången får tillbaka sin odeformerade form då belastningen avlägsnas.  spänningen är proportionell mot töjningen = E  E : elasticitetsmodul (N/m2) Uttrycket ovan för förlängningen  gäller då N, A och E är konstanta längs stången. Om någon storhet varierar får vi:

Exempel 2 stång (1) stång (2) Spänning  ? Total förlängning  ? Byggnadsmekanik gk 4.8 Exempel 2 stång (1) stång (2) Spänning  ? Total förlängning  ? total förlängning

Byggnadsmekanik gk 4.9 Exempel 3 Idén med integralen ovan är att en infinitesimal stång med längd dx och konstant area A(x) har för förlängning: förlängning  ? A(x) antas linjär : Problem : A varierar A = A(x)

Exempel 4 Moment ekvation i A : Balken ABCD är stel (odeformbar) Byggnadsmekanik gk 4.10 Exempel 4 Moment ekvation i A : Balken ABCD är stel (odeformbar) Idé : använda (små) deformationerna för att hitta en ekvation till med N1 och N2. Normalkrafter N1 och N2 i de vertikala stängerna ? Balk ABCD jämvikt 4 obekanta – 3 ekvationer : N1 N2 kan ej beräknas. Strukturen är statiskt obestämd. N1 och N2 kan bestämmas med (1) + (2)

Exempel 5 En kompositstång bestående av två material ska analyseras. Byggnadsmekanik gk 4.11 Exempel 5 En kompositstång bestående av två material ska analyseras. Observation :  är konstant i hela stången tvärsnitt Tvärsnittet består av två material

: Poissons tal. För de flesta metaller ligger mellan 0.28 och 0.32. Byggnadsmekanik gk 4.12 TVÄRKONTRAKTION En stång som utsätts för en axiell dragspänning blir längre och smalare. På motsvarande sätt blir stången tjockare om den utsätts för en axiell tryckspänning. Töjningen vinkelrätt mot belastningsriktningen är proportionell mot töjningen i belastningsriktningen. : Poissons tal. För de flesta metaller ligger mellan 0.28 och 0.32. SKJUVNING Skjuvspänning är proportionell mot skjuvtöjning för ett linjärt elastiskt material. L b h : förlängning, bredd- och höjdförändring G : skjuvmodul (N/m2) Lateraltöjning : Normaltöjning :

Byggnadsmekanik gk 4.13 TERMISKA EFFEKTER Stången utsätts för en temperaturändring T och en axiell last P Stången utsätts för en temperaturändring T Superpositionsteoremet används genom att addera deformationerna pga T och P . T ger upphov till en töjning T och en förlängning L snitt   : temperaturutvidgnings koefficient (1/°C)

Exempel 1 Numerisk applikation A = 10-4 m2 (1cm1cm) T = 30 C Byggnadsmekanik gk 4.14 Exempel 1 Numerisk applikation A = 10-4 m2 (1cm1cm) E = 2.1011 N/m2  = 12.10-6 / ºC ( stål ) T = 30 C Tryckspänning  ? Tryckkraften F motsvarar egenvikt av en 700 kg massa. Temperatureffekter kan ge upphov till stora spänningar i strukturer.