© Anders Broberg, Ulrika Hägglund, Lena Kallin Westin, 2003 Datastrukturer och algoritmer Föreläsning 14

Datastrukturer och algoritmer VT 2005 © Anders Broberg, Ulrika Hägglund, Lena Kallin Westin, Innehåll  Prioritetskö  Heap/Hög  Mer om sortering  Heapsort O(N*log(N))  Facksortering/Bucketsort O(N+M)  Radixsort O(b*N)  Sökning i strängar/mönstermatching  Naiv sökning (Brute force)  Knuth Morris Pratt  Booyer moore’s

Datastrukturer och algoritmer VT 2005 © Anders Broberg, Ulrika Hägglund, Lena Kallin Westin, Prioritetskö  Modell: Patienterna på en akutmottagning, man kommer in i en viss tidsordning men behandlas utifrån en annan ordning.  Organisation: En mängd vars grundmängd är linjärt ordnad av en prioritetsordning.  Avläsningar och borttagningar görs endast på de element som har högst prioritet.  Andra mängdoperationer är inte aktuella

Datastrukturer och algoritmer VT 2005 © Anders Broberg, Ulrika Hägglund, Lena Kallin Westin, Specifikation av prioritetskö  Gränsytan Pqueue(val, R): Empty()  Pqueue(val, R) Insert(v:val, p:Pqueue(val, R))  Pqueue(val, R) Isempty(p:Pqueue(val, R))  Bool Inspect-first (p:Pqueue(val, R))  val Delete-first (p:Pqueue(val, R))  Pqueue(val, R)  R är relationen för prioritetsordningen.  Ibland slås de två sista metoderna ihop.  Ytan ovan förutsätter statisk prioritet. Vill man ha dynamisk prioritet måste en update- metod finnas.

Datastrukturer och algoritmer VT 2005 © Anders Broberg, Ulrika Hägglund, Lena Kallin Westin, Specifikation av prioritetskö  Man kan också tänka sig att prioritetskön tar element (val) som består av ett värde och en prioritet.  Förra fallet antog man att värde = prioritet  Gränsytan kan varieras på flera sätt  update har vi redan nämnt  Vi kan också vilja finna det högsta/minsta prioritetsvärdet i kön

Datastrukturer och algoritmer VT 2005 © Anders Broberg, Ulrika Hägglund, Lena Kallin Westin, Stack och kö är specialfall av prioritetskön!  Om R är den totala relationen, dvs gäller för alla par av värden blir prioritetskön en stack.  Om R är den tomma relationen, dvs inte gäller för några par av värden, blir det en kö.  Dessutom:  Om R är en strikt partiell ordning, som ”>”, kommer lika element behandlas som en kö.  Om R är icke-strikt, som ”≥” behandlas lika element som en stack. Se axiomen på s 294!

Datastrukturer och algoritmer VT 2005 © Anders Broberg, Ulrika Hägglund, Lena Kallin Westin, Konstruktioner av Prioritetskö  Man utgår ofta från konstruktioner av Mängd eller Lexikon  Lista, ej sorterad  Insert O(1), Delete-first O(n)  Lista, sorterad  Insert O(n), Delete-first O(1)

Datastrukturer och algoritmer VT 2005 © Anders Broberg, Ulrika Hägglund, Lena Kallin Westin, Konstruktioner av Prioritetskö  Heap/Hög – ett partiellt sorterat binärt träd  Etiketterna är sorterade efter en relation R så att a är förälder till b endast om a är före b i ordningen som ges av R.  Insättningar och borttagningar görs så att trädet hålls komplett.

Datastrukturer och algoritmer VT 2005 © Anders Broberg, Ulrika Hägglund, Lena Kallin Westin, Heap/Hög - Insert O(log n)  Sätt in på ledig plats på bottennivån och bubbla upp till rätt ställe

Datastrukturer och algoritmer VT 2005 © Anders Broberg, Ulrika Hägglund, Lena Kallin Westin, Heap/Hög - Delete-first O(log n)  Flytta upp sista elementet på bottennivån och låt det sjunka till rätt plats

Datastrukturer och algoritmer VT 2005 © Anders Broberg, Ulrika Hägglund, Lena Kallin Westin, Tillämpningar  Operativsystem som fördelar jobb mellan olika processer  Enkelt sätt att sortera något.  Stoppa in allt i en prioritetskö och plocka ut det igen.  Hjälpmedel vid traversering av graf  Jmfr att stack och kö används vid traversering av träd.

Datastrukturer och algoritmer VT 2005 © Anders Broberg, Ulrika Hägglund, Lena Kallin Westin, Det går att sortera snabbare än O(nlog(n))  För att göra det måste vi veta mer om objekten vi vill sortera  Gå att avbilda på heltalen  Största värdet & minsta värdet o[V min …V max ]  O(N+M) där N är antalet element och M är V max -V min

Facksortering M (3,k) (1,a) (9,j) (1,e) (3,i) (1,m) (2,h) (8,s) (2,o) (9,w) (7,q) (2,y) (4,p) (3,k) (1,a) (2,h) (9,j) (3,i) (2,o) (8,s) (1,e) (7,q) (4,p) (2,y) (9,w) (1,m) N (1,a) (1,e) (2,h) (3,i) (2,o) (9,w) (1,m) (3,k) (2,y) (9,j) (4,p) (8,s) (7,q)

Datastrukturer och algoritmer VT 2005 © Anders Broberg, Ulrika Hägglund, Lena Kallin Westin, Radix Sort  Radix ≈ bas  Tittar på strukturen hos nycklarna  Antag att talen är representerade i basen M, tex.  M=2 binära talsystemet 9 =  M=10 decimala talsystemet  Sorterar genom att jämföra siffror/bitar i samma position 1001

Datastrukturer och algoritmer VT 2005 © Anders Broberg, Ulrika Hägglund, Lena Kallin Westin, ”Straight” Radix Sort O(bN) for i  0 to b-1 do sortera fältet på ett stabilt sätt, med avseende på i:e biten  Jämföra från höger till vänster…  Antag att vi kan sortera fältet stabilt på O(N) => O(bN)  Hur gör vi det?  Facksortering….

Datastrukturer och algoritmer VT 2005 © Anders Broberg, Ulrika Hägglund, Lena Kallin Westin, ”Straight” Radix Sort

Datastrukturer och algoritmer VT 2005 © Anders Broberg, Ulrika Hägglund, Lena Kallin Westin, ”Straight” Radix Sort  Funkar den?  På grund av stabilitet, så förändras inte den relativa ordningen mellan två nycklar med samma värde

Datastrukturer och algoritmer VT 2005 © Anders Broberg, Ulrika Hägglund, Lena Kallin Westin, ”Straight” Radix Sort, med basen

Datastrukturer och algoritmer VT 2005 © Anders Broberg, Ulrika Hägglund, Lena Kallin Westin, Radix Exchange sort  Titta på bitarna från vänster till höger 1.Sortera fältet på den vänstraste biten 2.Dela fältet i två delar toppen & botten 3.Rekursion  Sortera toppen rekursivt, ignorera vänstraste biten  Sortera botten rekursivt, ignorera vänstraste biten O(bN) där b är antalet bitar och N antalet tal

Datastrukturer och algoritmer VT 2005 © Anders Broberg, Ulrika Hägglund, Lena Kallin Westin, Radix Exchange Sort Toppen Botten

Datastrukturer och algoritmer VT 2005 © Anders Broberg, Ulrika Hägglund, Lena Kallin Westin, Radix Exchange Sort  Bygger på samma idé som inplace quicksort, för att dela upp i två delar (toppen och botten) repeat scan top-down to find a key starting with 1; scan bottom-up to find a key starting with 0; exchange keys; until scan indices cross

Radix Exchange Sort

Datastrukturer och algoritmer VT 2005 © Anders Broberg, Ulrika Hägglund, Lena Kallin Westin, Strängsökning…  Att hitta en delsträng i en sträng  Ett antal algoritmer  Naiv  Knuth Morris Pratt  Booyer Moore  Rabin-Karp

Datastrukturer och algoritmer VT 2005 © Anders Broberg, Ulrika Hägglund, Lena Kallin Westin, Naiv Strängsökning  Brute force  Jämför ett tecken i taget tills två olika eller hittad delsträng  Vid två olika flytta fram ett tecken i huvudsträngen och börja om från början i mönstret  Kan hitta första delsträngen eller alla

Datastrukturer och algoritmer VT 2005 © Anders Broberg, Ulrika Hägglund, Lena Kallin Westin, Exempel Jag vet inte vart min cykel finns vet Jag vet inte vart min cykel finns vet Jag vet inte vart min cykel finns vet Jag vet inte vart min cykel finns vet Jag vet inte vart min cykel finns vet

Datastrukturer och algoritmer VT 2005 © Anders Broberg, Ulrika Hägglund, Lena Kallin Westin, Tidskomplexitet  Bästa fallet om mönstret finns AAAAAAAAAAAAAAAA AAAAA  O(M) där M är längden på mönstret  Bästa fallet om mönstret inte finns AAAAAAAAAAAAAAAA OAAAA  O(N) där N är längden på strängen

Datastrukturer och algoritmer VT 2005 © Anders Broberg, Ulrika Hägglund, Lena Kallin Westin, Tidskomplexitet  Värsta fallet om mönstret finns AAAAAAAAAAAAAAAB AAAAB AAAAAAAAAAAAAAAB AAAAB  O(M*N) där M är längden på mönstret och N längden på strängen  Värsta fallet om mönstret inte finns??  O(M*N)

Datastrukturer och algoritmer VT 2005 © Anders Broberg, Ulrika Hägglund, Lena Kallin Westin, Vad kan vi göra bättre?  Utnyttja kunskap om sökmönstret för att:  Unvika att behöva börja om från början  Hoppa längre steg 

Datastrukturer och algoritmer VT 2005 © Anders Broberg, Ulrika Hägglund, Lena Kallin Westin, Knuth Morris Pratt  Utnyttjar en felfunktion f  som berättar hur mycket av mycket av den senaste jämförelsen man kan återanvända om man felar  är definierat som det längsta prefixet i P[0,...,j] som också är suffix av P[1,...,j] där P är vårt mönster.  visar hur mycket av början av strängen matchar upp till omedelbart före felet

Datastrukturer och algoritmer VT 2005 © Anders Broberg, Ulrika Hägglund, Lena Kallin Westin, Felfunktion exempel  Om jämförelsen felar på position 4, så vet vi att a,b i position 2,3 är identiska med position 0,1 j P[j]ABABAC f(j)001230

Datastrukturer och algoritmer VT 2005 © Anders Broberg, Ulrika Hägglund, Lena Kallin Westin, KMP-algoritmen  Input: String T (text) with n characters and P (pattern) with m characters.  Output: Starting index of the first substring of T matching P, or an indication that P is not a substring of T. f <- KMPfailureFunction(P) i <- 0 j <- 0 while i < n do if P[j] = S[i] then if j = m-1 then return i-m-1 // En matchning i <- i+1 j <- j+1 else if j > 0 then // ingen match, vi har gått j index direkt efter // matchande prefix i P j <- f(j-1) else i <- i+1 return ingen matchning av delsträngen P i S

Datastrukturer och algoritmer VT 2005 © Anders Broberg, Ulrika Hägglund, Lena Kallin Westin, KMPfailureFunction(P) i <- 1 j <- 0 while i < m-1 do if P[j] = P[i] then f(i)<- j+1 i <- i+1 j <- j+1 else if j > 0 ingen match then j <- f(j-1) //j index efter pref som match. prefix else //ingen matchning f(i) <- 0 i <- i+1

Datastrukturer och algoritmer VT 2005 © Anders Broberg, Ulrika Hägglund, Lena Kallin Westin, KMP exempel abacaabaccabacabaaaaaa abacababacababacababacababacab j P[j]abacab f(j) j i

Datastrukturer och algoritmer VT 2005 © Anders Broberg, Ulrika Hägglund, Lena Kallin Westin, KMP-Algoritmen  Låt k = i - j  För varje varv i while-loopen händer ett av följande:  S[i] = P[j], öka i och j med 1, k oförändrad.  S[i] P[j] och j > 0, i är oförändrad men k ökar med minst 1 eftersom den ändras från i - j to i - f(j-1)  S[i] P[j] och j = 0, öka i med 1 och minska k med 1 (ty j oförändrad).  Alltså för varje varv i loopen ökar antingen i eller k med minst 1. Max antal varv blir 2n  Detta antar att f redan är beräknad (som är O(m)).  Total komplexitet: O(n + m)

Datastrukturer och algoritmer VT 2005 © Anders Broberg, Ulrika Hägglund, Lena Kallin Westin, Rabin-Karp  Beräkna ett hashvärde för mönstret och för varje delsträng av texten som man ska jämföra med  Om hashvärdena är skilda, beräkna hashvärdet för det nästa M tecknen i texten  Om hashvärdena är lika, utför en brute-force jämförelse mellan P och delsträngen  Med andra ord:  Endast en jämförelse per deltext  Brute-force endast när hash- värderna matchar.

Datastrukturer och algoritmer VT 2005 © Anders Broberg, Ulrika Hägglund, Lena Kallin Westin, Rabin-Karp exempel Hashvärdet för AAAAA = 37 Hashvärdet för AAAAH = 100 AAAAAAAAAAAAAAAA AAAAH 100 <> 37 AAAAAAAAAAAAAAAA AAAAH 100 <> 37 AAAAAAAAAAAAAAHA AAAAH 100 = 100

Datastrukturer och algoritmer VT 2005 © Anders Broberg, Ulrika Hägglund, Lena Kallin Westin, Rabin-Karp hashfunktionen  Vilken? Den får inte kosta för mycket....  Betrakta M som ett M-siffrigt tal i basen b, där b är antalet bokstäver i alfabetet  Textsekvensen t[i..i+M-1] avbildas på talet x(i) = t[i]b M-1 + t[i+1]b M t[i+M-1]

Datastrukturer och algoritmer VT 2005 © Anders Broberg, Ulrika Hägglund, Lena Kallin Westin, Rabin-Karp hashfunktionen  Billigt att beräkna x(i+1) från x(i) x(i+1) = t[i+1]b M-1 + t[i+2]b M t[i+M]  x(i+1) = x(i)b skifta ett vänster, - t[i]b M ta bort den vänstraste termen + t[i+M] lägg till den nya högertermen  Behöver inte räkna om hela talet utan gör bara en justering för det nya tecknet

Datastrukturer och algoritmer VT 2005 © Anders Broberg, Ulrika Hägglund, Lena Kallin Westin, Hash-värdet fortsättning  Om M är stort blir blir (b*M) enormt därför så hashar man med mod ett stort primtal  h(i) = ((t[i]b M-1 mod q) + (t[i+1]b M-2 mod q)+...+ (t[i+M-1] mod q)) mod q  h(i+1) = (h(i)b mod q - (t[i]b M mod q) + (t[i+M] mod q) mod q

Datastrukturer och algoritmer VT 2005 © Anders Broberg, Ulrika Hägglund, Lena Kallin Westin, Algoritm hash_M <- Beräkna hashvärdet för M hash_S <- Beräkna hashvärdet för den första delsträngen do if (hash_M = hash_S) then Bruteforce jämförelse av M och S hash_S + 1 tecken beräknas while end of text or match

Datastrukturer och algoritmer VT 2005 © Anders Broberg, Ulrika Hägglund, Lena Kallin Westin, Komplexitet  Om det är tillräckligt stort primtal q för hashfunktionen så kommer hashvärdet från två mönster vara distinkta  I detta fall så tar sökningen O(N) där N är antalet tecken i strängen  Men det finns alltid fall som ger i närheten av värsta fallet O(N*M) om primtalet är för litet

Datastrukturer och algoritmer VT 2005 © Anders Broberg, Ulrika Hägglund, Lena Kallin Westin, Boyer-Moores algoritm  Liknar KMP  Två idéer:  Gör matchningen baklänges, med start i mönstrets sista element.  Utnyttja kunskap om mönstrets uppbyggnad och informationen om värdet på den första felmatchande elementet i S för att flytta fram mönstret så långt som möjligt varje gång. oOm det finns upprepningar av element i mönstret så får man bara flytta fram till den högraste förekomsten. oFörskjutningstabell talar om hur långt man får flytta.