1 Kapitel 9 Interval Estimation Dan Hedlin

2 Konfidensintervall vanligast för ”location problems”, dvs k.i. för medelvärde o.d. K.i. för t.ex. standardavvikelse inte ovanligt, men dock mindre vanligt, Exempel på skalfamilj av fördelningar: likformig fördelning på

3 Konstruera konfidensintervall Alla går ut på att ”invertera” test I likhet med LRT får man de välkända intervallen i de välkända situationerna; i det fallet ger konstruktionen snarare förklaring och teoretiskt stöd än något nytt verktyg

4 Invertera test till konfidensintervall Test av enkel nollhypotes, dvs noll-hypotesen utgörs av ett enda värde ”Kokbokrecept”: 1.Ställ upp ett acceptansområde 2.Se till att sh:n är 1-  att teststatistikan faller inom detta, om nollhypotesen sann 3.Detta är samtidigt ett konfidensintervall; (flytta ev. om så att parametern hamnar i ”mitten”)

5 Samma recept med pivot Acceptansområde Dvs sh:n Konfidens- intervall Fördel med pivotkvantitet: slipper ha med parametern i konfidensintervallets gränser

6 ”Invertera” täthetsfunktion Anta att F T (t| θ) är en fördelningsfkt som avtar med θ Ställ upp två ekvationer. Lös ut och Konfidensintervallet är Fungerar därför att vi har konstruerat ett acceptansområde med de två ekvationerna

7 Utvärdera intervall Vad är ett bra konfidensintervall? Täckningsgraden kan göras stor genom att göra intervallet brett Bra intervall: kort(aste) under given täckningsgrad Täckningsgraden beror ofta på parametern; då pratar man om confidence coefficient = minimum (infimum) av täckningsgrad

8 Teorem För fördelningar med unimodal täthet (t.ex. normalfdl) Kortaste intervallet är det för vilket änd- punkterna har samma värde på täthets- funktionen För symmetriska unimodala fördelningar alltså ”equal alpha split”, t.ex.

9 Ofta bra att välja ”equal split” i alla fall Invertering av LRT av enkel nollhypotes ger bästa intervall enl teoremet H 0 accepteras om Konfidens- intervall

10 ”test-related” optimality Test har vissa optimalitetsegenskaper, speciellt ”likformigt starkaste test” Borde finnas motsvarighet för konfidensintervall Har dock föga med intervallets längd att göra UMA, uniformly most accurate

11 Om man inverterar ett UMP (uniformly most powerful) –test så får man ett UMA- intervall UMP är dock ofta ensidiga, så intervallen blir också ensidiga ”UMA” inte så användbart Makes for elegant theory though (C&B p. 445)