Dagens ämnen Numeriska serier Definition av konvergens

En presentation över ämnet: "Dagens ämnen Numeriska serier Definition av konvergens"— Presentationens avskrift:

1 Dagens ämnen Numeriska serier Definition av konvergens
Jämförelsesatser Vad skall vi jämföra med? Absolutkonvergens Leibniz kriterium

2 Numeriska serier I princip samma teori som för genegraler.

3 Definition 10.1

4 Numeriska serier Hur känner man igen konvergens?
Räcker ju ej med att termerna går mot 0.

5 Divergenskriteriet Konvergens kräver alltså att seriens termer går mot noll. Negera påståendet i föregående sats. Då fås: Om termerna inte går mot noll så är serien inte konvergent, dvs den är divergent.

6 Numeriska serier Hur visar man konvergens då?
I princip samma teori som för genegraler! Antag att f är avtagande för x ≥ 1.

7 Sats 10.11 Jämförelsesats genegraler

8 Sats 10.6 Jämförelsesats serier

9 Sats 10.6 Jämförelsesats positiva serier
Läs satsen i ord istället för formler! Om den större serien är konvergent så är den mindre också det. Om den mindre serien är divergent så är den större också det.

10 Sats 10.12

11 Sats 10.5

12 Sats 10.13 Jämförelsesats på kvotform (slappform)

13 Sats 10.7 Jämförelsesats på kvotform

14 Absolutkonvergens Jämförelsesatserna kräver att f ≥ 0.
Vad göra om f växlar tecken? Studera |f |.

15 Absolutkonvergens Jämförelsesatserna kräver att
Vad göra om växlar tecken? Studera

16 Rot- och kvotkriterierna
Jämförelse med geometrisk serie.

17 Leibniz kriterium Alternerande serie, varannan +, varannan -.

18 Leibniz kriterium Alternerande serie, varannan +, varannan -.
Om termernas belopp avtar mot 0 är serien konvergent. Felet då serien approximeras med en delsumma är mindre än den första utelämnade termen.

19 Sammanfattning Termerna går inte mot noll ==> divergens
Integralkriteriet och jämförelsesatserna. Rot- och kvotkriteriet <==> jämförelse med geometrisk serie Leibniz: Alternerande serie. Termernas belopp avtar mot noll ==> konvergens.