Statistik för internationella civilekonomer

En presentation över ämnet: "Statistik för internationella civilekonomer"— Presentationens avskrift:

1 Statistik för internationella civilekonomer
Föreläsning 5 732G81 Statistik för internationella civilekonomer

2 Dagens föreläsning Diskreta sannolikhetsfördelningar
Bernoullifördelningen Binomialfördelningen Poissonfördelningen Normalfördelningen Kontinuitetskorrektion (halvtalskorrektion) Samplingfördelningar och urval 732G81

3 Bernoullifördelningen
Den enklaste av de diskreta sannolikhetsfördelningarna som bara har två utfallsmöjligheter {0,1} ex. krona, klave som har 𝑝=0.5 Dess täthetsfunktion är för 0≤𝑝≤1 𝑃 𝑛 = 1−𝑝 för 𝑛=0 𝑝 för 𝑛=1 Väntevärde och varians 𝜇=𝑝 𝜎 2 =𝑝− 𝑝 2 732G81

4 Bernoullifördelningen Exempel
En student står på Campus och frågar 100 slumpmässigt utvalda förbipasserande om de tar studiestöd eller inte. Svaren blir enligt följande (Ja representerar p) Ja: =0.9 Nej: =0.1 Väntevärde och varians 𝜇=𝑝=0.9 𝜎 2 =𝑝− 𝑝 2 =0.9− =0.09 732G81

5 Binomialfördelningen
Summan av 𝑛 upprepade Bernoulliförsök där varje försök har samma 𝑝 (sannolikhet för lyckat utfall) ex. krona som singlas flera gånger Dess täthetsfunktion är för 0≤𝑝≤1 och antalet lyckade utfall 𝑘 𝑃 𝑋=𝑘 = 𝑛 𝑘 𝑝 𝑘 1−𝑝 𝑛−𝑘 Väntevärde och varians 𝜇=𝑛𝑝 𝜎 2 =𝑛𝑝 1−𝑝 Jmf. Komb. utan upprepning 732G81

6 Binomialfördelningen Exempel
En familj har skaffat 6 barn, varav 5 blev flickor. Vad är sannolikheten att få så många flickor på sex försök? 𝑝=0.5, 𝑘=5 och 𝑛=6 𝑃 𝑋=5 = −0.5 6−5 = 6! 5! 6−5 ! − = Vad är väntevärdet och variansen för flickor på sex försök? 𝜇=𝑛𝑝=6∙0.5=3 𝜎 2 =𝑛𝑝 1−𝑝 =6∙0.5∙0.5=1.5 732G81

7 Hypergeometriska fördelningen
Beskriver sannolikheten för 𝑘 lyckade utfall i 𝑛 försök som dragits utan återläggning från en population med storleken 𝑁 som totalt innehåller 𝑁𝑝 lyckade utfall Dess täthetsfunktion är 𝑃 𝑋=𝑘 = 𝑁𝑝 𝑘 𝑁−𝑁𝑝 𝑛−𝑘 𝑁 𝑛 Väntevärde och varians 𝜇=𝑛𝑝 𝜎 2 =𝑛𝑝 1−𝑝 𝑁−𝑛 𝑁−1 732G81

8 Hypergeometriska fördelningen Exempel
En kortlek består av N= 52 kort. När man spelar poker delas 5 kort ut. Vad är sannolikheten för att få 3 ess? 𝑝= 4 52 , 𝑘=3 och 𝑛=5 𝑃 𝑋=3 = −4 5− = 732G81

9 Poissonfördelningen Är en approximation till Binomialfördelningen som beskriver sannolikheten att få 𝑘 lyckade utfall bland 𝑛 delförsök (𝑛>20) Dess täthetsfunktion är 𝑃 𝑋=𝑘 = 𝜇 𝑘 𝑘! 𝑒 −𝜇 Väntevärde och varians 𝜇=𝑛𝑝 𝜎 2 =𝑛𝑝 732G81

10 Poissonfördelningen Exempel
När man tillverkar en elektronisk komponent så vet man att det vanligtvis blir fel på en av Under en vecka har man tillverkat komponenter och vill veta vad sannolikheten är för mindre än två felaktiga komponenter. 𝑝= och 𝑛= ger 𝜇=2 𝑃 𝑋≤2 = ! 𝑒 − ! 𝑒 −2 =0.41 732G81

11 Normalfördelningen Symmetrisk, kontinuerlig fördelning som beskrivs helt av väntevärdet och standardavvikelsen Dess täthetsfunktion är 𝑓 𝑥 = 1 𝜎 2𝜋 𝑒 − 𝑥−𝜇 𝜎 2 Väntevärde och varians 𝜇 𝜎 2 732G81

12 Normalfördelningen Linjär variabeltransformation Om 𝑋 ~ 𝑁 𝜇,𝜎
och a, b är konstanter så gäller att den linjära formen 𝑏𝑋+𝑎 ~ 𝑁 𝑏𝜇+𝑎,𝑏𝜎 det vill säga, väntevärdet förändras på samma linjära sätt och standardavvikelsen ökar med faktorn a. Där linjen skär y-axeln Lutning på en linje 732G81

13 Normalfördelningen Sannolikhet för ett givet x
Standardiserad normalfördelning 𝑧~𝑁 0,1 Beräkna (där 𝜇 och 𝜎 är kända) 𝑧= 𝑥−𝜇 𝜎 Slå upp z i normalfördelningstabell, eller använd en dator som har tabeller lagrade och ger större exakthet, och avläs sannolikheten. 732G81

14 Normalfördelningen Z-värden 732G81

15 Normalfördelningen Normalfördelningsapproximation av binomialfördelningen Givet att 𝑋~𝐵𝑖𝑛 𝑛,𝑝 och 𝑛𝑝 1−𝑝 >5 Så kan Bin approx med N enligt 𝑋≈𝑁 𝑛𝑝, 𝑛𝑝 1−𝑝 Exakt och approx. resultat kan skilja sig, kan förbättras med kontinuitetskorrektion (inkludera halvtalsintervall i beräkningarna) 732G81

16 Samplingfördelning De stora talens lag säger att ju större stickprov vi drar desto mer lika blir stickprovsstatistikorna populationsparametrarna. Att dra fler stickprov från en population kallas för sampling Fördelningen för stickprovsmedelvärdena kallas urvalsfördelning Urvalsfördelningen kan betraktas som en uppskattning av samplingfördelningen 732G81

17 Samplingfördelning Samplingfördelning för summor och medelvärden av n oberoende slumpvariabler är approximativt normalfördelad om n är tillräckligt stort 732G81

18 Tack för idag!