732G81 Statistik Patrik.Waldmann@liu.se Föreläsning 3 732G81 Statistik Patrik.Waldmann@liu.se.

En presentation över ämnet: "732G81 Statistik Patrik.Waldmann@liu.se Föreläsning 3 732G81 Statistik Patrik.Waldmann@liu.se."— Presentationens avskrift:

1 732G81 Statistik Patrik.Waldmann@liu.se
Föreläsning 3 732G81 Statistik

2 Dagens föreläsning Population vs. Stickprov Läges och spridningsmått
Kombinatorik Permutationer och kombinationer Sannolikhetslära Oberoende och disjunkta händelser Bayes sats Satsen om total sannolikhet 732G81

3 Population Den (oftast teoretiska) mängd enheter som vi vill dra slutsatser om. Kan anses vara ändlig eller oändlig. Ex: 50-åriga tallar i Sverige (variabel höjd) HIV-smittade i världen (variabel dödlighet) Ekonomistudenter vid LiU (variabel studiemotivation) 732G81

4 Stickprov Den fysiska mängd observationer som vi har data från.
Bör vara ett slumpmässigt och representativt urval från den större bakomliggande populationen. Ex: Talldungen på Campus? HIV-smittade på gayklubbar i Stockholm? Ekonomistudenter på denna föreläsning? 732G81

5 Lägesmått och spridningsmått Illustrerat med programmet R
#Generera 1000 dataobservationer från en normalfördelning med #medelvärde 40 och standardavvikelse 2. data1 <- rnorm(1000,40,2) #Generera 1000 dataobservationer från en normalfördelning med #medelvärde 50 och standardavvikelse 10. data2 <- rnorm(1000,50,10) 732G81

6 Lägesmått och spridningsmått Illustrerat med programmet R
#Plotta ett histogram var för data 1 och data 2 #(med 25 staplar). hist(data1,25,xlim=c(1,100)) hist(data2,25,xlim=c(1,100)) 732G81

7 Lägesmått och spridningsmått Illustrerat med programmet R
#Checka att medel och standardavvikelse stämmer mean(data1) sd(data1) mean(data2) sd(data2) 732G81

8 Kombinatorik Permutationer
Permutationer när alla element är olika: Visa att mängden S = {1,2,3,4} har 24 möjliga permutationer: (1,2,3,4), (1,2,4,3), (1,4,2,3), … , och (4,3,2,1) 𝑃 𝑛 𝑘 = 𝑛! 𝑛−𝑘 ! = 4! 4−4 ! = 24 1 =24 732G81

9 Kombinatorik Permutationer
Permutationer när alla element är olika: På hur många sätt kan två värden väljas ut ur S = {1,2,3,4}: (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (3,1), (4,1), … , och (4,3) 𝑃 𝑛 𝑘 = 𝑛! 𝑛−𝑘 ! = 4! 4−2 ! = 24 2 =12 Olika ordning 732G81

10 Kombinatorik Permutationer
Permutationer när vissa element är lika: Hur många åttasiffriga nummer kan bildas av S = {1,2,3,4,1,2,3,4} (varje siffra ska ingå två gånger) : 𝑃 𝑛 𝑘 1 , 𝑘 2 , = 𝑛! 𝑘 1 ! 𝑘 2 ! 𝑘 3 ! 𝑘 4 ! = 8! 2!2!2!2! = =2520 732G81

11 Kombinatorik Kombinationer
Kombinationer utan upprepning: Visa att mängden S = {1,2,3,4} bara kan kombineras en gång utan upprepning: (1,2,3,4) anses vara samma som (1,2,4,3), … , och (4,3,2,1) 𝑃 𝑛 𝑘 = 𝑛! 𝑘! 𝑛−𝑘 ! = 4! 4! 4−4 ! = =1 732G81

12 Kombinatorik Kombinationer
Kombinationer utan upprepning: Vilka par kan väljas ut ur S = {1,2,3,4}: (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (3,1), (4,1), … , och (4,3) 𝑃 𝑛 𝑘 = 𝑛! 𝑘! 𝑛−𝑘 ! = 4! 2! 4−2 ! = 24 4 =6 Anses vara samma 732G81

13 Kombinatorik Kombinationer
Kombinationer med upprepad dragning: Vilka par kan väljas ut ur S = {1,2,3,4}, givet att varje siffra kan bilda ett par med sig själv: (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), … , och (4,4) 𝑃 𝑛 𝑘 = 𝑛+𝑘−1 ! 𝑘! 𝑛−1 ! = 4+2−1 ! 2! 4−1 ! = =10 732G81

14 Sannolikhetslära Definitioner
Utfallsrummet för könet på ett barn är S = {F,P} Sannolikheten för att få ett barn med ett visst kön är P(F) = P(P) = ½ Utfallsrummet för könet på två barn är S = {(F,F),(F,P),(P,F),(P,P)} Sannolikheten för var och en av dessa utfall är P((X,Y)) = ¼ 732G81

15 Sannolikhetslära Händelser och union
Könet på två barn i samma familj är oberoende (F hänt så kan P hända) händelser och kan därför inte vara disjunkta (F hänt så kan inte P hända) Definiera två nya händelser E = {(F,F),(F,P)} dvs första barnet av två är en flicka F = {(F,F),(P,F)} dvs andra barnet av två är en flicka Unionen mellan E och F E∪F dvs händelsen att antingen det första eller det andra barnet är en flicka 𝑃 E∪F =𝑃 E +𝑃 F −𝑃 E∩F = −𝑃 F,F = ¾ Snittet mellan E och F 732G81

16 Sannolikhetslära Betingade sannolikheter
Vad är sannolikheten för två flickor 𝑃 F,F =𝑃 F ∙𝑃 F =0.5 ∙0.5=0.25 En familj har två barn. Vad är den betingade sannolikheten att båda barnen är flickor givet att minst en av dem är det Låt I=𝑃 F,F och J=minst en är flicka 𝑃 𝐼 𝐽 = 𝑃 𝐼∩𝐽 𝑃 𝐽 = 𝑃 F,F 𝑃{ F,F , F,P , P,F } = = 1 3 732G81

17 Sannolikhetslära Bayes sats
Ett test på ett laboratorium har 95% effektivitet i att detektera en sjukdom när sjukdomen verkligen existerar. Testet resulterar dock också i 1% felaktiga positiva resultat när friska personer testas. Om 0.5% av befolkningen verkligen har sjukdomen, vad är sannolikheten att en individ har sjukdomen givet att testet är postivt? 732G81

18 Sannolikhetslära Bayes sats
Låt 𝐷 beteckna händelsen att en person har sjukdomen och 𝐸 händelsen att testet är positivt. Den eftersökta sannolikheten är 𝑃 𝐷 𝐸 och erhålls mha Bayes sats 𝑃 𝐷 𝐸 = 𝑃 𝐷∩𝐸 𝑃 𝐸 = 𝑃 𝐸 𝐷 𝑃 𝐷 𝑃 𝐸 𝐷 𝑃 𝐷 +𝑃 𝐸 𝐷 𝑐 𝑃 𝐷 𝐶 = = ≈0.323 Bara 32 procent av de som fått positivt testresultat har sjukdomen. 732G81

19 Tips om ytterligare information
Hemsida med exempel på permutationer (eng. permutations) och kombinationer (eng. combinations) orics/Introduction Skillnaden på disjunkta (eng. disjoint) och oberoende (eng. independent) händelser beskrivs i följande video: Bra exempel på Bayes sats (eng. Bayes theorem) finns bl a på: 732G81