Kurvor, derivator och integraler

En presentation över ämnet: "Kurvor, derivator och integraler"— Presentationens avskrift:

1 Kurvor, derivator och integraler

2 GENOMGÅNG 3.1

3 Växande och avtagande

4 Första och andra derivata
Andra derivatans nollställe Första derivatans nollställen

5 Teckentabell

6 Teckentabell

7 Teckentabell Extremvärden 5 -3 3 -3 5 -3 + - +

8 Exempeluppgift Vilka värden kan x anta?

9 Maximal area Punkten P ligger på den räta linjen. Tillsammans med de positiva koordinataxlarna bestämmer punkten P en rektangel. När punkten P flyttas längs med linjen kommer rektangelns höjd och bredd att förändras. Bestäm rektangelns maximala area.

10 Maximal area Hur får vi fram denna?

11 Maximal area Rektangelns maximala area är 13,5 ae.

12 Maximal area Lösning 2 Rektangelns maximala area är 13,5 ae.

13 Exempeluppgift Bestäm det största och det minsta värdet som
antar i intervallet 1. Vi börjar med att derivera f(x) 2. Vi sätter f´(x) = 0 PQ-formeln ger oss

14 Exempeluppgift Kan vi vara säkra på detta? Nej! Varför inte det?
Bestäm det största och det minsta värdet som antar i intervallet 3. Vi sätter in våra x-värden i f(x) 4 × 25^ × 25^ × 25 = 4 × 40^ × 40^ × 40 = Största värde: ?? Minsta värde: ?? Kan vi vara säkra på detta? Nej! Varför inte det?

15 Exempeluppgift Största värde: 125 000 Minsta värde: 112 000
Bestäm det största och det minsta värdet som antar i intervallet Största värde: Minsta värde: OBS! 4 × 18^ × 18^ × 18 = 4 × 25^ × 25^ × 25 = 4 × 40^ × 40^ × 40 = 4 × 50^ × 50^ × 50 =

16 Exempeluppgift Bestäm det största och det minsta värdet som
antar i intervallet 4 × 18^ × 18^ × 18 = 4 × 25^ × 25^ × 25 = 4 × 40^ × 40^ × 40 = 4 × 50^ × 50^ × 50 = Kommentar: För att vara säker på att vi har största respektive lägsta värde I det givna intervallet måste vi sätta in dels de båda x-värdena som derivatans nollställen ger, dels de båda x-värdena som ges av intervallet yttervärden.

17 Exempeluppgift Bestäm det största och det minsta värdet som
antar i intervallet 4 × 18^ × 18^ × 18 = 4 × 25^ × 25^ × 25 = 4 × 40^ × 40^ × 40 = 4 × 50^ × 50^ × 50 =

18 Andraderivatan och grafen
GENOMGÅNG 3.2 Polynomfunktioner Andraderivatan Andraderivatan och grafen

19 Polynomfunktioner

20 Polynomfunktioner

21 Polynomfunktioner

22 Polynomfunktioner A Rektangeln i figuren har sidorna 16 cm och 12 cm.
Denna uppgift skall leda fram till att vi tar reda på det värde på x som ger minsta möjliga värde på arean A. Uppgift 3212, sidan 151

23 Polynomfunktioner A Rektangeln i figuren har sidorna 16 cm och 12 cm.
Bestäm arean (A) av den grå triangeln som en funktion av x. Uppgift 3212, sidan 151

24 Polynomfunktioner I A III II Bestäm arean (A) av den grå triangeln som en funktion av x. Jag inför beteckningar för de 3 vita trianglarna: I: II: III: Uppgift 3212, sidan 151

25 Polynomfunktioner A I: II: III: Arean (A) av den grå triangeln: I III
Uppgift 3212, sidan 151

26 Polynomfunktioner A I: II: III: Definitionsmängden för arean (A) är:
Variabeln x måste ligga mellan 0 och 8. Varför? Uppgift 3212, sidan 151

27 Polynomfunktioner I A III II För vilket värde på x blir den grå triangelarean den minsta möjliga? Börja med att derivera A! Svar: När x = 6 så har den grå arean minsta möjliga värde. Uppgift 3212, sidan 151

28 Polynomfunktioner A Kontrollerar med graf: I III II Definitionsmängd
Minsta area x-värde vid minsta area Största area?? Uppgift 3212, sidan 151

29 Andraderivatan

30 Andraderivatan

31 Andraderivatan

32 Andraderivatan

33 Andraderivatan och grafen

34 Andraderivatan och grafen

35 Andraderivatan och grafen

36 Andraderivatan och grafen
[C:a 10 minuter]

37 Andraderivatan och grafen

38 Andraderivatan och grafen

39 GENOMGÅNG 3.3 Primitiva funktioner Primitiva funktioner med villkor

40 FRÅN TEXT-TV (SVT) Hur stor har den årliga procentuella minskningen av livsmedelsbutiker varit i Sverige sedan 1996? Antal butiker 1996: 7400 st Antal butiker 2013: 5400 st

41 FRÅN TEXT-TV (SVT) Varifrån kom talet 17?
Hur stor har den årliga procentuella minskningen av livsmedelsbutiker varit i Sverige sedan 1996? Antal butiker 1996: 7400 st Antal butiker 2013: 5400 st Formel: Varifrån kom talet 17?

42 FRÅN TEXT-TV (SVT) Hur stor har den årliga procentuella minskningen av livsmedelsbutiker varit i Sverige sedan 1996?

43 FRÅN TEXT-TV (SVT) Hur stor har den årliga procentuella minskningen av livsmedelsbutiker varit i Sverige sedan 1996? (5400/7400)^(1/17) ≈ 0, … Hur skall vi svara?

44 FRÅN TEXT-TV (SVT) Hur stor har den årliga procentuella minskningen av livsmedelsbutiker varit i Sverige sedan 1996? Svar: Den årliga procentuella minskningen av livsmedelsbutiker i Sverige har varit c:a 2% mellan åren 1996 och 2013.

45 Primitiva funktioner

46 Primitiva funktioner

47 Primitiva funktioner

48 Primitiva funktioner

49 Primitiva funktioner Den sökta funktionen:

50 Primitiva funktioner Vilken grad skall funktionen ha?
Vad skall (-1) multipliceras med för att det skall bli 1?

51 Primitiva funktioner Den sökta funktionen:

52 GENOMGÅNG 3.4 Integraler Integralberäkning med primitiv funktion
Tillämpningar och problemlösningar

53 Integraler OBS! Uppgift 3401!

54 Integraler

55 Integraler Integrand Övre integrationsgräns Integraltecken
Undre integrationsgräns Integrationsvariabel

56 Integraler OBS! 0,2

57 Integraler

58 Integraler

59 Integraler