Kap 1 - Algebra och linjära modeller

En presentation över ämnet: "Kap 1 - Algebra och linjära modeller"— Presentationens avskrift:

1 Kap 1 - Algebra och linjära modeller

2 1.1 Algebra

3 Prioriteringsreglerna

4 Prioriteringsreglerna

5 Prioriteringsreglerna
Svar: X = 4 X = 1 X = 2

6 PRIORITERINGSREGLERNA
Fungerande strategi (2+2) *2 - 2 = *2 - 2 = (parenteser) *2 - 2 = (potenser) = (mult.) = 18 (add/sub.) ARBETA NEDÅT!

7 MULT. OCH DIV. MED NEGATIVA TAL
(-4)×(-3) = 12 4×(-3) = -12 (-24)/3 = -8 (-24)/(-3)= 8 ”lika tecken” ger plus ”olika tecken” ger minus

8 ARBETA NEDÅT! NEGATIVA TAL 17 - 3 × 2 + 5 - 18/3 17 - 6 + 5 – 6
– 6 – 6 10 ARBETA NEDÅT!

9 TALLINJEN Skillnad mellan 3 och (-3)? Differens av 3 och (-3)?
3 – (-3)= 6

10 PÅ RÄKNAREN 3 – (-3)= 6

11 PÅ RÄKNAREN 3 – (-3)= 6

12 ADDITION OCH SUBTRAKTION MED NEGATIVA TAL
– (-4) + (-6) = -10 (-4) - (-6) = 2 + Tecken intill varandra: LIKA  + OLIKA  ­–

13 ADDITION OCH SUBTRAKTION MED NEGATIVA TAL
– (-4) + 1 × (-6) = -10 (-4) (– 1) × (-6) = 2 +

14 Minus gånger minus

15 RÄKNA MED BRÅK VAD SKA VI GÖRA NU? HÄR FÖRKORTAR VI
VI FÖRLÄNGER DESSA BÅDA BRÅK OCH FÅR DÅ… HÄR FÖRKORTAR VI

16 MULTIPLIKATION AV BRÅK
Samma värde

17 ATT INVERTERA ETT TAL Skriv ex. in talet 5 och skriv sedan 1/ ”ett genom” ovanför. Multiplicera 5:an och dess inverterade värde 0,2 och se. Gör detta med ett antal tal. Gå sedan vidare till nästa bild och gör samma med bråktal.

18 ATT INVERTERA ETT BRÅK

19 ATT INVERTERA ETT HELTAL

20 ATT INVERTERA ETT HELTAL

21 DIVISION AV BRÅK ”DIVISION MED 3/4  MULTIPLIKATION MED 4/3”
HUR SKALL VI GÖRA NU? VAD HAR VI GJORT? ”DIVISION MED 3/4  MULTIPLIKATION MED 4/3”

22 DIVISION AV BRÅK KONTROLL MED RÄKNARE

23 DIVISION AV BRÅK

24 DIVISION AV BRÅK

25 DIVISION AV BRÅK TÄLJARE OCH NÄMNARE MULTIPLICERAS MED…
…NÄMNARBRÅKETS INVERTERADE VÄRDE.

26 DIVISION AV BRÅK

27 DIVISION AV BRÅK Jämför!

28 DIVISION AV BRÅK TÄLJARE OCH NÄMNARE MULTIPLICERAS MED…
…NÄMNARBRÅKETS INVERTERADE VÄRDE.

29 DIVISION AV BRÅK

30 Algebraiska uttryck Variabeltermer Konstanttermer

31 Algebraiska uttryck

32 Algebraiska uttryck

33 Algebraiska uttryck

34 Algebraiska uttryck

35 Algebraiska uttryck 15

36 Algebraiska uttryck a²+ab

37 Algebraiska uttryck

38 Ekvationer

39 Ekvationer

40 1.2 Funktioner

41 Funktioner °F °C Dra bort 32 Dela med 1,8 32 50 65 20 45

42 Funktioner °F °C Dra bort 32 Dela med 1,8 För utskrift

43 DIVISION AV BRÅK

44 DIVISION AV BRÅK

45 DIVISION AV BRÅK TÄLJARE OCH NÄMNARE MULTIPLICERAS MED…
…NÄMNARBRÅKETS INVERTERADE VÄRDE.

46 DIVISION AV BRÅK

47 DIVISION AV BRÅK Jämför!

48 DIVISION AV BRÅK TÄLJARE OCH NÄMNARE MULTIPLICERAS MED…
…NÄMNARBRÅKETS INVERTERADE VÄRDE.

49 DIVISION AV BRÅK

50 f(x) f(x) utläses f av x f är en funktion av x
Men det går också att säga y

51 Värde och definition Värde Definition

52 Hitta tal… x y 1 10 2 13 3 16 4 ?? 5 6 25 7 28 8 9 34

53 Hitta tal… x f(x) 1 10 2 13 3 16 4 ?? 5 6 25 7 28 8 9 34

54 Hitta tal… x f(x) 1 10 2 13 3 16 4 ?? 5 6 25 7 28 8 9 34

55 Hitta tal… n y 1 10 2 13 3 16 4 ?? 5 6 25 7 28 8 9 34

56 Symbolen f(x)

57 Funktionsmaskin x f(x) = 2x + 1 x Med andra ord y = f(x) f(x) = y
JO! UTvärdet = INvärdet gånger 2 plus ett f(x) = 2x + 1 2x + 1 x f(x) = y f(x) = y IN = 1  UT = 3 IN = 2  UT = 5 Vad gör funktionsmaskinen? IN = 3  UT = 7 Vilken funktion har den? IN = 4  UT = 9 Hur kan man skriva funktionen? IN = 5  UT = 11 f(x) = 2x + 1 kan också skrivas y = 2x + 1 Med andra ord y = f(x)

58 • • NÄR ÄR Y EN FUNKTION AV X f(x) y X = 2 Y = 3 6 (5,6) X = 5 Y = 6 3
(2,3) x 2 5

59 Funktion eller inte funktion?
JA! JA! Nej! Testa om det är en funktion med VERTIKALTESTET

60 Definitions- och värdemängd

61 • • VÄRDE OCH DEFINITION y X = 2 Y = 3 (5,6) X = 5 Y = 6 3 (2,3) x 2
Värdeaxel • 3 (2,3) Definitionsaxel x 2 När definitionen är 2, så är värdet 3 När definitionen är 5, så är värdet 6

62 Definitions- och värdemängd
Y = värdeaxel X = definitionsaxel

63 LINJERS LUTNING

64 LINJERS LUTNING

65 LINJERS LUTNING

66 LINJERS LUTNING

67 LINJERS LUTNING

68 LINJERS LUTNING • Linjens lutning = (1,5) ∆y = 2 • (0,3) ∆x = 1

69 Lägga plattor runt rabatter

70 Lägga plattor runt rabatter
För utskrift

71 Lägga plattor runt rabatter

72 1.3 Räta linjens ekvation

73 DESMOS Klicka på bilden för att gå till DESMOS

74 Buskar på rad Y = 5x + 3

75 Buskar på rad Y = 5x + 3

76 Buskar på rad Y = 5x + 3

77 Buskar på rad X Y = 5X + 3 1 8 2 13 3 18 4 23 5 28 Y = 5x + 3

78 Några punkter på linjen
RÄTA LINJENS EKVATION Linjens lutning • • Linjens ekvation • Några punkter på linjen x 2x+3 (y) -1 1 3 5

79 RÄTA LINJENS EKVATION • •

80 m = var linjen skär y-axeln
RÄTA LINJENS EKVATION k = linjens lutning m = var linjen skär y-axeln

81 LINJEN y = 2x + 3 Hur vet jag att namnet på denna linje är y = 2x + 3?

82 VAD HETER DENNA LINJE? • • ∆y = 3 ∆x = 2
Vilket sätt att skriva är bäst?

83 VAD HETER DENNA LINJE? • ∆y = 6 • ∆x = 4

84 VAD HETER DENNA LINJE? DETTA SÄTT ÄR ATT FÖREDRA! (Tycker Dennis) •

85 PARALLELLA LINJER y = 2x + 1 y = 2x - 1
Parallella linjer har samma k-värde Parallella linjer har samma lutning Parallella linjer har ingen skärningspunkt

86 Buskar på rad Y = 5x + 3

87 Buskar på rad Y = 5x + 3

88 Buskar på rad Linjär utveckling… 1 8 2 13 3 18 4 23 5 28 x y = 5x + 3

89 VINKELRÄTA LINJER Om man multiplicerar k-värdena för två vinkelräta linjer får man alltid produkten -1

90 K-VÄRDEN FÖR VINKELRÄTA LINJER

91 ATT INVERTERA ETT BRÅK

92 ATT INVERTERA ETT HELTAL

93 INVERTERADE TAL Om man multiplicerar ett tal med dess inverterade värde får man alltid produkten 1 (ett).

94 INVERTERADE TAL Om man multiplicerar ett tal med dess inverterade värde får man alltid produkten 1 (ett).

95 INVERTERADE TAL Om man multiplicerar ett tal med dess inverterade värde får man alltid produkten 1 (ett).

96 DESMOS Klicka på bilden för att gå till DESMOS

97 VAD HETER LINJEN?

98 VAD HETER LINJEN?

99 VAD HETER LINJEN?

100 LINJERS LUTNING Linjens lutning = • (1,5) ∆y = 2 • (0,3) ∆x = 1

101 Några punkter på linjen
RÄTA LINJENS EKVATION Linjens lutning • • Linjens ekvation • Några punkter på linjen x 2x+3 (y) -1 1 3 5

102 Några punkter på linjen
RÄTA LINJENS EKVATION Linjens lutning • • Linjens ekvation • Några punkter på linjen x 2x+3 (y) -1 1 3 5

103 VAD HETER DENNA LINJE? • • ∆y = 3 ∆x = 2
Vilket sätt tycker Du är bäst att skriva?

104 VAD HETER DENNA LINJE? • ∆y = 6 • ∆x = 4

105 VAD HETER DENNA LINJE? ÄR DETTA SÄTT ÄR ATT FÖREDRA? •

106 PARALLELLA LINJER y = 2x + 1 y = 2x - 1
Parallella linjer har samma k-värde Parallella linjer har samma lutning

107 PARALLELLA LINJER Vad heter dessa linjer?

108 VINKELRÄTA LINJER Om man multiplicerar k-värdena för två vinkelräta linjer får man alltid produkten -1

109 VINKELRÄTA LINJER

110 VINKELRÄTA LINJER

111 God studieteknik?

112 1.4 Linjära ekvationssystem
• Vad menas med en lösning?

113 TRE LÖSNINGSMETODER (AV EKVATIONSSYSTEM)
GRAFISK LÖSNING SUBSTITUTIONSMETODEN ADDITIONSMETODEN

114 Vi tar hjälp av DESMOS Mata in dessa funktioner i DESMOS!

115 GRAFISK LÖSNING AV EKVATIONSSYSTEM
Värdena på x och y fås genom att läsa direkt i grafen.

116 GRAFISK LÖSNING AV EKVATIONSSYSTEM

117 GRAFISK LÖSNING AV EKVATIONSSYSTEM

118 LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
Y=2x+2 VAD MENAS MED EN LÖSNING? Svar: x = -1, y = 0 • Y=-x-1

119 LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
Y=2x+2 • Y=-x-1

120 LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
Om lösningen stämmer i båda ekvationerna så är lösningen exakt. Vi testar om lösningen är exakt: Första ekvationen Andra ekvationen Det stämmer!

121 LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
•

122 LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
TEST! Hurra! Det stämmer

123 LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM

124 LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM

125 LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM

126 LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
Uppgift Vad heter linjerna? Vilka koordinater har linjernas skärningspunkt?

127 LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
•

128 LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
Detta ekvationssystem eller har lösningen eller

129 VAD HETER DENNA LINJE? • ∆y = 3 • ∆x = 2

130 VAD HETER DENNA LINJE? • ∆y = 6 • ∆x = 4

131 VAD HETER DENNA LINJE? •

132 PARALLELLA LINJER y = 2x + 1 y = 2x - 1 Varför?
Parallella linjer har samma k-värde Parallella linjer har samma lutning Ett ekvationssystem som består av 2 st. parallella linjer saknar lösning Varför?

133 VINKELRÄTA LINJER Om man multiplicerar k-värdena för två vinkelräta linjer får man alltid produkten -1

134 LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
Y=2x+2 VAD MENAS MED EN LÖSNING? Svar: x = -1, y = 0 • Y=-x-1

135 LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
Y=2x+2 • Y=-x-1

136 LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
Om lösningen stämmer i båda ekvationerna så är lösningen exakt. Vi testar om lösningen är exakt: Första ekvationen Andra ekvationen Det stämmer!

137 SUBSTITUTIONSMETODEN

138 SUBSTITUTIONSMETODEN

139 SUBSTITUTIONSMETODEN

140 SUBSTITUTIONSMETODEN

141 SUBSTITUTIONSMETODEN
Ekvationssystemet har lösningen: Detta kan även skrivas:

142 SUBSTITUTIONSMETODEN

143 ADDITIONSMETODEN

144 ADDITIONSMETODEN (PRINCIPEN)

145 ADDITIONSMETODEN

146 ADDITIONSMETODEN Vad hände här?

147 ADDITIONSMETODEN Ekvationssystemet har lösningen:
Detta kan även skrivas:

148 Ekvationssystem Vilken lösning har detta ekvationssystem?

149 Ekvationssystem Vilken lösning har detta ekvationssystem?

150 Ekvationssystem Vilken lösning har detta ekvationssystem?

151 Ekvationssystem Vilken lösning har detta ekvationssystem?

152 Ekvationssystem Vilken lösning har detta ekvationssystem?

153 Hit har vi kommit! Nu går vi vidare!

154 Cykelförrådet Kan vi lösa denna med ett ekvationssystem?

155 Cykelförrådet Vilken metod skall vi ta? Vilka metoder känner vi till?
GRAFISK LÖSNING SUBSTITUTIONSMETODEN ADDITIONSMETODEN VI VÄLJER ALLA!

156 Cykelförrådet GRAFISK LÖSNING Kontroll!

157 SUBSTITUTIONSMETODEN
Cykelförrådet SUBSTITUTIONSMETODEN Kontroll!

158 Cykelförrådet ADDITIONSMETODEN Kontroll!

159 ENKLA OLIKHETER [2 är mindre än 3]
Om båda leden i en olikhet multipliceras eller divideras med ett negativt tal, så måste olikhetstecknet vändas.

160 LINJÄRA OLIKHETER y = x - 3 x – 3 < -2x + 5 x – 3 > -2x + 5

161 LINJÄRA OLIKHETER x – 3 < -2x + 5 x – 3 + 2x < -2x + 2x + 5

162 UPPGIFT 2417 y = x – 1 y = 0,25x + 0,5

163 LINJERS LUTNING • (1,5) 2 steg i y-led • (0,3) 1 steg i x-led

164

165 PARALLELLA LINJER

166 PARALLELLA LINJER y = 2x + 1 y = 2x - 1
Parallella linjer har samma k-värde Parallella linjer har samma lutning

167 PARALLELLA LINJER Vad heter dessa linjer?

168 VINKELRÄTA LINJER Om man multiplicerar k-värdena för två vinkelräta linjer får man alltid produkten -1

169 VINKELRÄTA LINJER

170 VINKELRÄTA LINJER

171 VINKELRÄTA LINJER

172 VINKELRÄTA LINJER

173 ENKLA OLIKHETER [2 är mindre än 3]
Om båda leden i en olikhet multipliceras eller divideras med ett negativt tal, så måste olikhetstecknet vändas.

174 LINJÄRA OLIKHETER y = x - 3 x – 3 < -2x + 5 x – 3 > -2x + 5

175 LINJÄRA OLIKHETER x – 3 < -2x + 5 x – 3 + 2x < -2x + 2x + 5

176 UPPGIFT 2417 y = x – 1 y = 0,25x + 0,5

177 LINJERS LUTNING • (1,5) 2 steg i y-led • (0,3) 1 steg i x-led

178 MATTEBOKEN

179 ATT KUNNA TILL PROV 1 ATT KUNNA TILL PROV 1