Kap 1 - Algebra och linjära modeller

En presentation över ämnet: "Kap 1 - Algebra och linjära modeller"— Presentationens avskrift:

1 Kap 1 - Algebra och linjära modeller

2 1.1 Algebra

3 Prioriteringsreglerna

4 Prioriteringsreglerna

5 Prioriteringsreglerna
Svar: X = 4 X = 1 X = 2

6 PRIORITERINGSREGLERNA
Fungerande strategi (2+2) *2 - 2 = *2 - 2 = (parenteser) *2 - 2 = (potenser) = (mult.) = 18 (add/sub.) ARBETA NEDÅT!

7 MULT. OCH DIV. MED NEGATIVA TAL
(-4)×(-3) = 12 4×(-3) = -12 (-24)/3 = -8 (-24)/(-3)= 8 ”lika tecken” ger plus ”olika tecken” ger minus

8 ARBETA NEDÅT! NEGATIVA TAL 17 - 3 × 2 + 5 - 18/3 17 - 6 + 5 – 6
– 6 – 6 10 ARBETA NEDÅT!

9 TALLINJEN Skillnad mellan 3 och (-3)? Differens av 3 och (-3)?
3 – (-3)= 6

10 PÅ RÄKNAREN 3 – (-3)= 6

11 PÅ RÄKNAREN 3 – (-3)= 6

12 ADDITION OCH SUBTRAKTION MED NEGATIVA TAL
– (-4) + (-6) = -10 (-4) - (-6) = 2 + Tecken intill varandra: LIKA  + OLIKA  ­–

13 RÄKNA MED BRÅK VAD SKA VI GÖRA NU? HÄR FÖRKORTAR VI
VI FÖRLÄNGER DESSA BÅDA BRÅK OCH FÅR DÅ… HÄR FÖRKORTAR VI

14 MULTIPLIKATION AV BRÅK
Samma värde

15 ATT INVERTERA ETT BRÅK

16 ATT INVERTERA ETT HELTAL

17 ATT INVERTERA ETT HELTAL

18 DIVISION AV BRÅK ”DIVISION MED 2/7  MULTIPLIKATION MED 7/2”
HUR SKALL VI GÖRA NU? VAD HAR VI GJORT? ”DIVISION MED 2/7  MULTIPLIKATION MED 7/2”

19 DIVISION AV BRÅK

20 DIVISION AV BRÅK

21 DIVISION AV BRÅK TÄLJARE OCH NÄMNARE MULTIPLICERAS MED…
…NÄMNARBRÅKETS INVERTERADE VÄRDE.

22 DIVISION AV BRÅK

23 DIVISION AV BRÅK Jämför!

24 DIVISION AV BRÅK TÄLJARE OCH NÄMNARE MULTIPLICERAS MED…
…NÄMNARBRÅKETS INVERTERADE VÄRDE.

25 DIVISION AV BRÅK

26 Algebraiska uttryck Variabeltermer Konstanttermer

27 Algebraiska uttryck

28 Algebraiska uttryck

29 Algebraiska uttryck

30 Algebraiska uttryck

31 Algebraiska uttryck 15

32 Algebraiska uttryck a²+ab

33 Algebraiska uttryck

34 Ekvationer

35 Ekvationer

36 1.2 Funktioner

37 DIVISION AV BRÅK

38 DIVISION AV BRÅK

39 DIVISION AV BRÅK TÄLJARE OCH NÄMNARE MULTIPLICERAS MED…
…NÄMNARBRÅKETS INVERTERADE VÄRDE.

40 DIVISION AV BRÅK

41 DIVISION AV BRÅK Jämför!

42 DIVISION AV BRÅK TÄLJARE OCH NÄMNARE MULTIPLICERAS MED…
…NÄMNARBRÅKETS INVERTERADE VÄRDE.

43 DIVISION AV BRÅK

44 f(x) = y f(x) f(x) utläses f av x f är en funktion av x
Men det går också att säga y f(x) = y

45 Hitta tal… x y 1 10 2 13 3 16 4 ?? 5 6 25 7 28 8 9 34

46 Hitta tal… x f(x) 1 10 2 13 3 16 4 ?? 5 6 25 7 28 8 9 34

47 Hitta tal… n y 1 10 2 13 3 16 4 ?? 5 6 25 7 28 8 9 34

48 Symbolen f(x)

49 Funktionsmaskin x f(x) = 2x + 1 x Med andra ord y = f(x) f(x) = y
JO! UTvärdet = INvärdet gånger 2 plus ett f(x) = 2x + 1 2x + 1 x f(x) = y IN = 1  UT = 3 f(x) = y IN = 2  UT = 5 Vad gör funktionsmaskinen? IN = 3  UT = 7 Vilken funktion har den? IN = 4  UT = 9 Hur kan man skriva funktionen? IN = 5  UT = 11 f(x) = 2x + 1 kan också skrivas y = 2x + 1 Med andra ord y = f(x)

50 • • NÄR ÄR Y EN FUNKTION AV X f(x) y X = 2 Y = 3 (5,6) X = 5 Y = 6 3
(2,3) x 2

51 Funktion eller inte funktion?
JA! JA! Nej! Testa om det är en funktion med VERTIKALTESTET

52 Definitions- och värdemängd

53 • • VÄRDE OCH DEFINITION y X = 2 Y = 3 (5,6) X = 5 Y = 6 3 (2,3) x 2
Värdeaxel • 3 (2,3) Definitionsaxel x 2 När definitionen är 2, så är värdet 3 När definitionen är 5, så är värdet 6

54 Definitions- och värdemängd
Y = värdeaxel X = definitionsaxel

55 LINJERS LUTNING • Linjens lutning = (1,5) ∆y = 2 • (0,3) ∆x = 1

56 Lägga plattor runt rabatter

57 Lägga plattor runt rabatter

58 1.3 Räta linjens ekvation

59 DESMOS Klicka på bilden för att gå till DESMOS

60 Buskar på rad Y = 5x + 3

61 Buskar på rad Y = 5x + 3

62 Buskar på rad Y = 5x + 3

63 Buskar på rad X Y = 5X + 3 1 8 2 13 3 18 4 23 5 28 Y = 5x + 3

64 Några punkter på linjen
RÄTA LINJENS EKVATION Linjens lutning • • Linjens ekvation • Några punkter på linjen x 2x+3 (y) -1 1 3 5

65 m = var linjen skär y-axeln
RÄTA LINJENS EKVATION k = linjens lutning m = var linjen skär y-axeln

66 LINJEN y = 2x + 3 Hur vet jag att namnet på denna linje är y = 2x + 3?

67 VAD HETER DENNA LINJE? • • ∆y = 3 ∆x = 2
Vilket sätt att skriva är bäst?

68 VAD HETER DENNA LINJE? • ∆y = 6 • ∆x = 4

69 VAD HETER DENNA LINJE? DETTA SÄTT ÄR ATT FÖREDRA! (Tycker Dennis) •

70 PARALLELLA LINJER y = 2x + 1 y = 2x - 1
Parallella linjer har samma k-värde Parallella linjer har samma lutning Parallella linjer har ingen skärningspunkt

71 Buskar på rad Y = 5x + 3

72 Buskar på rad Y = 5x + 3

73 Buskar på rad Linjär utveckling… 1 8 2 13 3 18 4 23 5 28 x y = 5x + 3

74 VINKELRÄTA LINJER Om man multiplicerar k-värdena för två vinkelräta linjer får man alltid produkten -1

75 K-VÄRDEN FÖR VINKELRÄTA LINJER

76 ATT INVERTERA ETT BRÅK

77 ATT INVERTERA ETT HELTAL

78 INVERTERADE TAL Om man multiplicerar ett tal med dess inverterade värde får man alltid produkten 1 (ett).

79 INVERTERADE TAL Om man multiplicerar ett tal med dess inverterade värde får man alltid produkten 1 (ett).

80 INVERTERADE TAL Om man multiplicerar ett tal med dess inverterade värde får man alltid produkten 1 (ett).

81 DESMOS Klicka på bilden för att gå till DESMOS

82 VAD HETER LINJEN?

83 VAD HETER LINJEN?

84 VAD HETER LINJEN?

85 LINJERS LUTNING Linjens lutning = • (1,5) ∆y = 2 • (0,3) ∆x = 1

86 Några punkter på linjen
RÄTA LINJENS EKVATION Linjens lutning • • Linjens ekvation • Några punkter på linjen x 2x+3 (y) -1 1 3 5

87 Några punkter på linjen
RÄTA LINJENS EKVATION Linjens lutning • • Linjens ekvation • Några punkter på linjen x 2x+3 (y) -1 1 3 5

88 VAD HETER DENNA LINJE? • • ∆y = 3 ∆x = 2
Vilket sätt tycker Du är bäst att skriva?

89 VAD HETER DENNA LINJE? • ∆y = 6 • ∆x = 4

90 VAD HETER DENNA LINJE? ÄR DETTA SÄTT ÄR ATT FÖREDRA? •

91 PARALLELLA LINJER y = 2x + 1 y = 2x - 1
Parallella linjer har samma k-värde Parallella linjer har samma lutning

92 PARALLELLA LINJER Vad heter dessa linjer?

93 VINKELRÄTA LINJER Om man multiplicerar k-värdena för två vinkelräta linjer får man alltid produkten -1

94 VINKELRÄTA LINJER

95 VINKELRÄTA LINJER

96 God studieteknik?

97 1.4 Linjära ekvationssystem
• Vad menas med en lösning?

98 LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
Y=2x+2 VAD MENAS MED EN LÖSNING? Svar: x = -1, y = 0 • Y=-x-1

99 LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
Y=2x+2 • Y=-x-1

100 LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
Om lösningen stämmer i båda ekvationerna så är lösningen exakt. Vi testar om lösningen är exakt: Första ekvationen Andra ekvationen Det stämmer!

101 LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM

102 LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM

103 LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM

104 LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
Uppgift Vad heter linjerna? Vilka koordinater har linjernas skärningspunkt?

105 LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
•

106 VAD HETER DENNA LINJE? • ∆y = 3 • ∆x = 2

107 VAD HETER DENNA LINJE? • ∆y = 6 • ∆x = 4

108 VAD HETER DENNA LINJE? •

109 PARALLELLA LINJER y = 2x + 1 y = 2x - 1 Varför?
Parallella linjer har samma k-värde Parallella linjer har samma lutning Ett ekvationssystem som består av 2 st. parallella linjer saknar lösning Varför?

110 VINKELRÄTA LINJER Om man multiplicerar k-värdena för två vinkelräta linjer får man alltid produkten -1

111 LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
Y=2x+2 VAD MENAS MED EN LÖSNING? Svar: x = -1, y = 0 • Y=-x-1

112 LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
Y=2x+2 • Y=-x-1

113 LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
Om lösningen stämmer i båda ekvationerna så är lösningen exakt. Vi testar om lösningen är exakt: Första ekvationen Andra ekvationen Det stämmer!

114 TRE LÖSNINGSMETODER (AV EKVATIONSSYSTEM)
GRAFISK LÖSNING SUBSTITUTIONSMETODEN ADDITIONSMETODEN

115 GRAFISK LÖSNING AV EKVATIONSSYSTEM
Värdena på x och y fås genom att läsa direkt i grafen.

116 SUBSTITUTIONSMETODEN

117 SUBSTITUTIONSMETODEN

118 SUBSTITUTIONSMETODEN

119 SUBSTITUTIONSMETODEN

120 SUBSTITUTIONSMETODEN
Ekvationssystemet har lösningen: Detta kan även skrivas:

121 SUBSTITUTIONSMETODEN

122 ADDITIONSMETODEN

123 ADDITIONSMETODEN (PRINCIPEN)

124 ADDITIONSMETODEN

125 ADDITIONSMETODEN

126 ADDITIONSMETODEN Ekvationssystemet har lösningen:
Detta kan även skrivas:

127 ENKLA OLIKHETER [2 är mindre än 3]
Om båda leden i en olikhet multipliceras eller divideras med ett negativt tal, så måste olikhetstecknet vändas.

128 LINJÄRA OLIKHETER y = x - 3 x – 3 < -2x + 5 x – 3 > -2x + 5

129 LINJÄRA OLIKHETER x – 3 < -2x + 5 x – 3 + 2x < -2x + 2x + 5

130 UPPGIFT 2417 y = x – 1 y = 0,25x + 0,5

131 LINJERS LUTNING • (1,5) 2 steg i y-led • (0,3) 1 steg i x-led

132 ATT KUNNA TILL PROV 1 ATT KUNNA TILL PROV 1