Deskription Normalfördelningsmodellen 1

2 En modell är en förenklad beskrivning av någon del av verkligheten. Beskrivningen måste vara relevant för det vi skall använda modellen till.En modell är en förenklad beskrivning av någon del av verkligheten. Beskrivningen måste vara relevant för det vi skall använda modellen till. Modeller

3 Exempel Kartor är modeller av den geografiska verkligheten. Vad som finns med på en karta beror på användningsområde. Vi har t.ex.Kartor är modeller av den geografiska verkligheten. Vad som finns med på en karta beror på användningsområde. Vi har t.ex. –vägkartor –ekonomiska kartor –topografiska kartor –sjökort

4 Flygplansmodell i vindtunnelFlygplansmodell i vindtunnel En cirkel som en modell för ett runt bord för att t.ex. beräkna bordets ytaEn cirkel som en modell för ett runt bord för att t.ex. beräkna bordets yta Tiden = sträckan / hastighetenTiden = sträckan / hastigheten Efterfrågefunktion för att beskriva hur efterfrågan på en vara (Y) beror på varans pris (X):Efterfrågefunktion för att beskriva hur efterfrågan på en vara (Y) beror på varans pris (X):

5 Parametriska fördelningar Ibland kan man beskriva variationen i en population genom att använda en matematisk modell.Ibland kan man beskriva variationen i en population genom att använda en matematisk modell. Ett exempel på en sådan modell är normalfördelningen.Ett exempel på en sådan modell är normalfördelningen.

6 Fördelningarna bestäms ofta av ett fåtal tal, s.k. parametrar.Fördelningarna bestäms ofta av ett fåtal tal, s.k. parametrar. Vet vi t.ex. att en variabels variation i en population på ett tillfredsställande sätt kan beskrivas av en normalfördelning, räcker det med att veta medelvärdet och standardavvikelsen i populationen för att vi skall få en komplett bild av hur stor andel av populationen som finns inom vissa intervall.Vet vi t.ex. att en variabels variation i en population på ett tillfredsställande sätt kan beskrivas av en normalfördelning, räcker det med att veta medelvärdet och standardavvikelsen i populationen för att vi skall få en komplett bild av hur stor andel av populationen som finns inom vissa intervall.

7 Normalfördelningsmodellen Den kurva som beskriver hur stor proportion av en population som ligger inom vissa intervall (hur tätt observationerna ligger) kallas för en täthetsfunktion.Den kurva som beskriver hur stor proportion av en population som ligger inom vissa intervall (hur tätt observationerna ligger) kallas för en täthetsfunktion. Andelar räknas som ytor under denna täthetsfunktion.Andelar räknas som ytor under denna täthetsfunktion.

8 En normalfördelad variabel (egenskap) X, med medelvärde  och standardavvikelse  har följande täthetsfunktion (lite mer komplicerad än en rät linje f(x) = kx+m, men principen är densamma).En normalfördelad variabel (egenskap) X, med medelvärde  och standardavvikelse  har följande täthetsfunktion (lite mer komplicerad än en rät linje f(x) = kx+m, men principen är densamma). Normalfördelningens täthetsfunktion (Definitivt överkurs!)

9 Och så här ser kurvan ut… Normalfördelningen är “klockformad” och symmetrisk runt medelvärdet. 

10 Effekter av olika medelvärden och standardavvikelser Så här påverkas kurvans utseende av olika standardavvikelser  = 2  =3  =4  = 10  = 11  = 12 Så här påverkar olika medelvärden kurvans läge.

11 För en normalfördelning gäller följande:För en normalfördelning gäller följande: –Ungefär 68% av fördelningen ligger inom en standardavvikelse från medelvärdet. –Ungefär 95% av fördelningen ligger inom två standardavvikelser från medelvärdet (kom ihåg detta!). –Ungefär 99.7% av fördelningen ligger inom tre standardavvikelser från medelvärdet.

12 Exempel:Exempel: –Antag att intelligensen i en population, mätt med ett visst intelligenstest, kan beskrivas av en normalfördelning med medelvärdet 100 och standardavvikelsen 15. –Då vet vi att ungefär 68% av populationen ligger mellan 85 och 115, ungefär 95 % av populationen mellan 70 och 130 och ungefär 99.7 % av populationen mellan 55 och Ytan till vänster om 70 är ungefär 0.025, dvs andelen under 70 är ungefär 2.5 %

13 Exempel:Exempel: –Antag att fördelningen av såväl kvinnors som mäns längd i en population kan beskrivas av normalfördelningsmodellen. Kvinnornas medellängd är 165 cm och standardavvikelsen är 6.2 cm. Männens medellängd är cm. Hur stor andel av kvinnorna är längre än männens medellängd? –Lösning: 95% av kvinnorna ligger max 2 standardavvikelser (2x6.2=12.4) cm ifrån 165 cm. Dvs 95% av kvinnorna har en längd som ligger mellan cm och cm. Detta innebär att ungefär 2.5% är kortare än cm och ungefär 2.5% är längre än cm.

14 z-värden Antal standardavvikelser som ett värde ligger ifrån medelvärdet kallas ibland för ett z-värde.Antal standardavvikelser som ett värde ligger ifrån medelvärdet kallas ibland för ett z-värde. En observation som ligger en standardavvikelse under medelvärdet får alltså z-värdet -1. En observation som ligger en standardavvikelse över medelvärdet får z-värdet +1.En observation som ligger en standardavvikelse under medelvärdet får alltså z-värdet -1. En observation som ligger en standardavvikelse över medelvärdet får z-värdet +1.

15 Exempel:Exempel: –Antag att intelligensen i en population, mätt med ett visst intelligenstest, kan beskrivas av en normalfördelning med medelvärdet 100 och standardavvikelsen 15. –Ett värde på 70 innebär alltså z=-2. Ett värde på 100 innebär att z blir 0, osv. –Ungefär 95% av alla observationerna har ett z-värde mellan -2 och +2.

16 Exempel: Jämförelser av IQExempel: Jämförelser av IQ –Ett vanligt använt IQ-test är ”The Wechsler Adult Intelligence Scale” (WAIS). Värden på WAIS för åldersgruppen år är approximativt normalfördelade med medelvärdet 110 och standardavvikelsen 25. Även för åldersgruppen är värdena approximativt normalfördelade, men med medelvärdet 90 och standardavvikelsen 25. –Sarah, som är 30 år, får värdet 135 på WAIS, medan hennes mor, som är 60 år, får värdet 120. –Vem av de två har, enligt detta test, högst IQ? –Vem av de två ligger högst relativt övriga i sin egen åldersgrupp?

17 Lösning:Lösning: –Sarah har högst IQ. –Sarahs IQ ligger en standardavvikelse ovanför medelvärdet, dvs. z=1. Sarahs mors IQ ligger 1.2 standardavvikelser över medelvärdet i hennes åldersgrupp, dvs. z=1.2. (Kan räknas ut på följande sätt: ( )/25=1 och (120-90)/25=1.2). Alltså har Sarahs mor en IQ som ligger högre jämfört med övriga i sin åldersgrupp.

18 Standardnormalfördelningen Om variabeln X är normalfördelad så gäller att variabeln Z=(X-  )/  är standardnormalfördelad. Detta innebär att Z är normalfördelad med medelvärdet 0 och standardavvikelsen 1.Om variabeln X är normalfördelad så gäller att variabeln Z=(X-  )/  är standardnormalfördelad. Detta innebär att Z är normalfördelad med medelvärdet 0 och standardavvikelsen 1. För standardnormalfördelningen finns tabeller med beräknade areor.För standardnormalfördelningen finns tabeller med beräknade areor.

19 Exempel: Fortsättning på jämförelse av IQ.Exempel: Fortsättning på jämförelse av IQ. –Sarah fick x=135, vilket motsvarar z=1.0. Hur stor andel av populationen har en IQ som är lägre än Sarahs? Titta i tabellen på bokpärmens insida. Vi ser att z=1.0 ger en yta (dvs. andel) som är Dvs % har en IQ som är lägre än Sarahs. –Mamman fick x=120, vilket motsvarar z=1.2. Hur stor andel av populationen har en IQ som är lägre än mammans? Titta i tabellen. Vi ser att z=1.2 ger en yta (dvs. andel) som är Dvs % har en IQ som är lägre än mammans.

Hur vet vi om normalfördelningen är en bra modell? Några verktyg som vi kan använda:Några verktyg som vi kan använda: –Histogram. Ser fördelningen ut som en normalfördelning? –Stam-blad-diagram. Ser fördelningen ut som en normalfördelning? –Normal quantile plot. 20

Normal quantile plot Ordna data från minsta till största.Ordna data från minsta till största. –Exempel: Antag att vi har 20 observationer. Låt oss beteckna dem x 1, x 2,…,x 20, där x 1 är minst och x 20 störst. Antag vidare att x 1 = 165 och x 2 = 167. Beräkna varje observations percentil.Beräkna varje observations percentil. –Forts. exempel: x 1 = 165 är femte percentilen, x 2 = 167 är tionde percentilen, osv. Beräkna motsvarande percentiler i standardnormalfördelningen.Beräkna motsvarande percentiler i standardnormalfördelningen. –Forts. exempel: z 1 = -1,645 är femte percentilen, z 2 = -1,282, osv. Plotta x-värdena (på y-axeln) mot z-värdena (på x-axeln).Plotta x-värdena (på y-axeln) mot z-värdena (på x-axeln). –Forts. exempel: Vi plottar alltså 165 mot -1,645, 167 mot -1,282, osv. Om normalfördelningen är en bra modell för att beskriva våra data så bör observationerna i vårt diagram ligga ungefär efter en rät linje.Om normalfördelningen är en bra modell för att beskriva våra data så bör observationerna i vårt diagram ligga ungefär efter en rät linje. 21