Ladda ner presentationen
Presentation laddar. Vänta.
Publicerades avAnna Falk
1
Tails and outliers in financial time series Examensarbete, Fredrik Strandberg HypoVereinsbank Risk Control, München
2
Examensarbete, Fredrik Strandberg Situation och målsättning Situation: Kovariansen mellan ett antal urvalda ”representativa” tidserier av längd n 250 skall skattas som vanlig stickprovsvarians Intresserade av ”ej representativa”, typiskt inflytelserika värden - ev. elimineras dessa! Mål: Hitta dessa s k ”outliers”!
3
Examensarbete, Fredrik Strandberg Vad är en outlier? Tekniska fel: Överföringsfel, decimalfel etc …12.34,12.35,1234,12.33,12.34, … Övriga fel (”marknadsoutliers”?): Finansiella avkastningar oftan nästan normalfördelade – men tjocksvansade: => Def. svansen som outlier m.a.p. N-förd???
4
Examensarbete, Fredrik Strandberg …m.a.p. en modell! Outlier := realiserat värde: mkt avvikande från vad det ”borde” vara. Alltså: En outlier är alltid en outlier map. en modell! Olika former i olika sammanhang (Univariat, multivariat, …)
5
Examensarbete, Fredrik Strandberg Klassificering av outliers Univariata: (intuitiv) Outlier map. sin egen univariata serie Multivariata: (en tidpunkt) Outlier map. sin egen multivariata serie Marginal: (Viktigast) Outlier map. de andra komponentserierna i en fix tidpunkt
6
Examensarbete, Fredrik Strandberg IID-data Standard: En kvantil! +/- 3 etc Hake 1: Beroende - kan ignoreras Hake 2: Icke-stationäritet - stort problem!! 2 klasser av problem: - En outlier döljer andra outliers (masking) - En outlier får ett korrekt värde att verka vara en outlier (swamping)
7
Examensarbete, Fredrik Strandberg Robust skattning av 1. (Ev. Släng bort de 1 % största värdena) 2. Ersätt medelvärdet med medianen 3. Ersätt kvadraterna med absolutbelopp 4. Ta medelvärde eller medianen (MAD) 5. Kör Monte-Carlo och skala om till konsistens (Under H 0 : Inga outliers)
8
Examensarbete, Fredrik Strandberg Finans: Typiska egenskaper Avkastningen över [t-1,t]: [P(t)-P(t-1)]/P(t-1) log(P(t)/P(t-1)) =: X(t) Icke-konstant volatilitet - kluster! Ungefär: t(f)-fördelad, typiskt f (3,5) Ungefär: X WN (utan minne) MEN: Processen X 2 eller |X| har ett (långt) minne! (Långminnet skall dock tolkas försiktigt)
9
Examensarbete, Fredrik Strandberg GARCH Typisk form (X = log-avkastningen) X(t) = 0 + (t)Z(t) där Z(t) IID N(0,1) eller Z(t) IID t(f) (t), Z(t) oberoende (t) = 0 + 1 X 2 (t-1)+ 1 2 (t-1) ”volatilitet” Stationär omm 0 > 0 och 1 + 1 < 1 ”EWMA”: 0 = 0, 1 =0.94, 1 = 0.06
10
Examensarbete, Fredrik Strandberg Parameterskattning ML: L( 0, 1, 1 ) : 0 > 0 och 1 + 1 < 1 Obetingad varians EX 2 = 0 /(1- 1 - 1 ) =: 2 ( Ser nu: 2 (t) = 2 + 1 X 2 (t-1)+ 1 2 (t), med + 1 + 1 =1, dvs ett viktat medelvärde) Skatta 2 med stickprovsvarians =>L( 1, 1 )
11
Examensarbete, Fredrik Strandberg Sampelstorlek n stort: Modell med konstanta parametrar passar kanske inte längre! (klustren…) Tycks kunna ge upphov till feltolkad ”långminneseffekt” (Mikosch & Starica) Finns flera goodness-of-fit tester. n litet: Numeriskt problem: Ojämn ML-yta med många lokala maxima. För n < 400 gör MATLAB, Splus etc ofta fel
12
Examensarbete, Fredrik Strandberg Outliers i tidsserier Idé (Fox, 1973): Istället för tjock svans, lägg till en term vid en okänd tidpunkt Modellera sedan effekterna av för t = X*(t) = X(t) + (B) I(t= ) (X*(t) observerad, X(t) ej observerad) (B) är sekvensen av effekter från
13
Examensarbete, Fredrik Strandberg Additiva outliers Enklast: Additativa outliers (AO) X*(t) = X(t) + I(t= ) (Påverkar bara vid t= ). Således (B) = 1
14
Examensarbete, Fredrik Strandberg Innovativa outliers En AO i bruset. För en ARMA-modell (B)X(t) = (t)Z(t) är modellen: (B)X*(t) = (t)[Z(t)+ I(t= )] => X*(t) = X(t) + [ (t)/ (B)] I(t= ) Således (B) = (t)/ (B)
15
Examensarbete, Fredrik Strandberg The Joint Estimation method ”JE-methoden” för ARMA Chen och Liu, 1993. (Tsay, 1986) 1. Antag först är känd. Antag modell. 2. Filtrera X*(t) med underliggande => residualerna: r(t) = X*(t) (t)/ (t) För AO: r(t) = I(t= ) (t)/ (t) + Z(t) För IO:r(t) = I(t= ) + Z(t)
16
Examensarbete, Fredrik Strandberg JE-metoden för ARMA 3. Definiera en ”indikatorserie” x(t) så att r(t) kan skrivas som en regression r(t) = x(t) + Z(t) x(t)=0 för t < , x( ) = 1. För t= +k är x( +k) = - (k)/ (k) för AO x( +k) = 0, för IO
17
Examensarbete, Fredrik Strandberg JE-metoden för ARMA 4. Nu kan outliern skattas som vanligt! 5. Standardisera skattningen ’ med 6. Gör detta för alla och använd max| ’/ | = M( ) som test-statistika 7. Kör Monte Carlo och undersök fördelningen av M( ) under H 0 : = 0 8. Metod: Om outlier, ta bort den och iterera!
18
Examensarbete, Fredrik Strandberg JE för GARCH Transformera GARCH till ARMA: [1 - (B) - (B)]X 2 (t) = [1 - (B)][X 2 (t)- 2 (t)] + 0 Använd nu JE-metoden, enklast på IO. Resultat: Fungerar förvånansvärt bra, omm 1. ”Hyfsad” serie 2. Välskattad GARCH
19
Examensarbete, Fredrik Strandberg Marginal outliers 1. Ansätt multivariat normalfördelade 2. För fix tidpunkt: Betingade marginalfördelningen också normal, med kända moment. 3. Gör konfidensintervall! 4. Den standardiserade variabeln är dock snarare t(4)-fördelad än N(0,1).
20
Examensarbete, Fredrik Strandberg Multivariata outliers Multidimensionellt spridningsmått: Mahalanobis-avståndet: MD 2 = x(t) T -1 x(t) Ungefär 2 -fördelat Ex: 11 sept 2001 multivariat outlier (WTC)
21
Examensarbete, Fredrik Strandberg Fasrummet Betrakta fasen av en univariat serie. WN => ett sfäriskt ”moln” (Tex) AR(p) => ett elliptiskt moln Deterministisk process => deterministisk struktur Använd nu MD > 2 som outlier-detektor! (Funkar bra!)
22
Examensarbete, Fredrik Strandberg Extremvärdesteori För univariata ”stora” outliers Modell för svansen. Antag svansen på formen x - L(x), L(x) en långsamt varierande funktion kallas tail index. Skattas ofta med Hill-skattningen, eller någon variant av denna Komplement till medelvärdesbaserad teori
23
Examensarbete, Fredrik Strandberg POT Vanligast: POT (Peaks Over Threshold) Steg 1: För ett sampel y 1,y 2,…, y n med okänd fördelningsfunktion F, välj en hög tröskel u. Betrakta nu observationerna ovan u, x 1,x 2,…, x N(u) IID-fallet: N(u) Bin(n,P[y>u])
24
Examensarbete, Fredrik Strandberg POT Steg 2. Vill inte bara veta hur ofta ett överskott inträffar, utan även storleken! Betrakta överskotten x i -u. Överskottens fördelning F u approximeras av den Generaliserade Paretofördelningen G( , ) = 1 - (1+ x/ ) -1/ , kan skattas med ML
25
Examensarbete, Fredrik Strandberg POT Steg 3. Beteckna svansen F’ := 1-F För överskottens svans fås att F’ u (y)=P[x - u > y|X > y] = F’(u + y)/F’(u) Skatta F’(y) med N(u)/n, F’ u (y) med G( , ) => erhåller skattning för F’(u+y) !!!
26
Examensarbete, Fredrik Strandberg GARCH+EVT Idé: Kombinera GARCH för (t) med EVT Applicera POT-metoden på Z(t) = X(t)/ (t) Z(t) mer likt ett stationärt WN än X(t) => Betingat riskmått (VaR etc…) Bra? Teoretiskt: JA! I praktiken: NJA! (Nu två besvärliga ML-skattningar)
27
Examensarbete, Fredrik Strandberg Sammanfattning GARCH svårskattad (ML) för korta serier En outlier är en outlier map. en modell! Tidsserier: JE-metoden för ARMA bra Multivariat: MD 2 > 2 fungerar bra! Univariat: Kan använda detta på fasvektorn EVT: Modell för svansen. Bara ”stora” data betraktas => bör ha lång serie
Liknande presentationer
© 2024 SlidePlayer.se Inc.
All rights reserved.