Presentation laddar. Vänta.

Presentation laddar. Vänta.

Projekt 5.9 Lotka-Volterra: predator-bytes-modell A Course in Mathematical Modeling - Mooney & Swift.

Liknande presentationer


En presentation över ämnet: "Projekt 5.9 Lotka-Volterra: predator-bytes-modell A Course in Mathematical Modeling - Mooney & Swift."— Presentationens avskrift:

1 Projekt 5.9 Lotka-Volterra: predator-bytes-modell A Course in Mathematical Modeling - Mooney & Swift

2 A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt Det finns många olika varianter på den klassiska predator- bytes-modellen. Här används en variant, där de exponentiella delarna bytts ut mot logistiska. I en logistisk modell begränsas tillväxten av bärförmågan, till skillnad från i en exponentiell.

3 A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt Följande predator-bytes-modell används i detta projekt:

4 A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt Verifiera att modellen är logistisk. I en exponentiell modell tillväxer bytet exponentiellt i frånvaro av predatorn. I den logistiska modellen begränsas tillväxten (r) av bärförmågan (K), vilket är fallet: Del 1. a) a motsvarar r b/a motsvarar K

5 A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt “Phase plane”-analysDel 1. b) För “phase-plane”-analys: 1.Hitta isoclinerna (nollinjerna) för ekvationerna och rita in dessa i en figur. 2.Markera fix-punkterna. 3.Rita in flödeslinjer.

6 A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt “Phase plane”-analysDel 1. b) Nollinje; dvs när dx/dt och dy/dt är 0:

7 A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt y x f/e a/c “Phase plane”-analysDel 1. b) Nollinjer Vid nollinjerna varken ökar eller minskar bytes- och predator- populationerna.

8 A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt y x f/e a/c “Phase plane”-analysDel 1. b) Nollinjer Fixpunkter Punkten är den mest intressanta punkten.

9 A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt “Phase plane”-analysDel 1. b) Populationen kan antingen öka eller minska i områdena under och över nollinjerna. Genom att testa med x>f/e kan man undersöka om området över (dvs, i figuren, till höger om) nollinjen (som är x= f/e) är positivt eller negativt. För x=f/e blir ekvationen alltså noll. För x=2f/e blir ekvationen positiv, dvs predatorpopulationen växer.

10 A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt “Phase plane”-analysDel 1. b) Alltså: Om predatorpopulationen befinner sig till höger om nollinjen kommer den att öka i antal. Detta illustreras av en uppåtriktad pil i figuren. y x f/e

11 A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt “Phase plane”-analysDel 1. b) Nollinjer medför alltid teckenbyte. Alltså: om predatorpopulationen ökar till höger om nollinjen kommer den istället att minska om den befinner sig till vänster om nollinjen. y x f/e

12 A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt “Phase plane”-analysDel 1. b) På samma sätt kan man testa om bytespopulationen ökar eller minskar över och under nollinjen (y=(bx-a)/c). Om y=(2a-bx)/c kommer ekvationen för bytespopulationen att bli negativ: Bytespopulationen kommer alltså att minska över nollinjen. Och därmed kommer den att öka under nollinjen.

13 A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt “Phase plane”-analysDel 1. b) För bytespopulationen gäller alltså: y x f/e

14 A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt “Phase plane”-analysDel 1. b) y x f/e “Phase plane”-digram med flödeslinjer:

15 A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt Jacobian-analysDel 1. c) Med en Jacobian-analys undersöker man vilken typ av fixpunkt man har (saddle, sink, source eller center). x y γ 0 och β 0 och β>0 source γ>0 och β=0 center

16 A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt Jacobian-analysDel 1. c)

17 A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt Jacobian-analysDel 1. c) x y Jämviktspunkten sätts in i Jacobian-matrisen: x=f/e, y=(a-bx)/c→y=(a/c)-(bf/ce)

18 18 Jacobian-analysDel 1. c) x y γ 0 och β 0 och β>0 source γ>0 och β=0 center 1 2 Jäm- viktspunkten är en ‘sink’ och troligen en spiral. 3

19 A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt Verifiera förra uppgiften numeriskt!Del 1. d) a=1 b=1 c=1,5 e=1,5 f=0,5 Positiva jämviktspunkten är en spiral-sink! Genom att hitta på värden på a, b, c, e och f så kan detta verifieras med hjälp av Matlab. Jämvikts- punkten = 0,33;0,44 1 2

20 A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt Verifiera förra uppgiften numeriskt!Del 1. d) function xdot=byte(t,x) a=1; b=1; c=1.5; e=1.5; f=0.5; xdot(1)=a*x(1)-b*x(1)^2-c*x(1)*x(2); xdot(2)=e*x(1)*x(2)-f*x(2); xdot=[xdot(1);xdot(2)]; 3 Skapa en funktionsfil. Här kallad “byte.m”.

21 A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt Verifiera förra uppgiften numeriskt!Del 1. d) [t,x]=ode45('byte',[0,50],[ ]); plot(x(:,1),x(:,2)) 4 Anropa funktionen och lös numeriskt: Testa med olika värden på antalet vid start.

22 22 Verifiera förra uppgiften numeriskt!Del 1. d)

23 A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt I del 2 är funktionen för predatorn ändrad så att den inte minskar exponentiellt i frånvaro av bytet (vilket var fallet i del 1): Del 2.

24 A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt Verifiera att modellen är logistisk.Del 2. a) Verifiera att modellen är logistisk: För bytespopulationen se del 1a. För predatorpopulationen (i frånvaro av bytet): Om y är stort begränsas tillväxten och tvärtom om y är litet.

25 A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt “Phase-plane”-analysDel 2. b) 1.Hitta nollinjerna:

26 A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt “Phase-plane”-analysDel 2. b) 2. Rita in nollinjerna i en figur och markera fixpunkterna. f/e a/c y x Fixpunkter

27 A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt “Phase-plane”-analysDel 2. b) 3. Rita in flödeslinjer. Om y=(a-bx)/c kommer bytespopulationen varken öka eller minska (dvs nollinjen!). Om y är större, tex y=(2a-bx)/c kommer bytespopulationen att minska: Om y istället är mindre kommer bytespopulationen öka.

28 A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt “Phase-plane”-analysDel 2. b) 3. Rita in flödeslinjer. f/e a/c y x

29 A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt “Phase-plane”-analysDel 2. b) 3. Rita in flödeslinjer. Om x=(gy-f)/e kommer predatorpopulationen varken öka eller minska (dvs nollinjen!). Om x är större, tex x=(2gy-f)/e kommer predatorn att öka: Om x är mindre kommer predatorpopulationen minska.

30 A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt “Phase-plane”-analysDel 2. b) 3. Rita in flödeslinjer. f/e a/c y x

31 A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt “Phase-plane”-analysDel 2. b) 3. Rita in flödeslinjer. f/e a/c y x

32 A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt Jacobian-analysDel 2. c)

33 A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt Jacobian-analysDel 2. c) Stoppa in jämviktspunkten i Jacobianen! ???????????????????????????????????????

34 A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt Verifiera numeriskt!Del 2. d) Hitta på värden för konstanterna: a=1 b=1 c=1,5 e=1,5 f=0,5 g=1 Positiva jämviktspunkten: en spiral-sink? Hitta jämviktspunkten Skapa en funktionsfil Skapa en fil som löser funktionen numeriskt och använd startvärden som ligger i närheten av jämviktspunkten.

35 A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt Verifiera numeriskt!Del 2. d) Hitta jämviktspunkten genom att lösa ut x och y och stoppa in värdena på konstanterna. 2

36 A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt Verifiera numeriskt!Del 1. d) function xdot=predator(t,x) a=1; b=1; c=1.5; e=1.5; f=0.5; g=1; xdot(1)=a*x(1)-b*x(1)^2-c*x(1)*x(2); xdot(2)=e*x(1)*x(2)-f*x(2)-g*x(2)^2; xdot=[xdot(1);xdot(2)]; 3 Skapa en funktionsfil. Här kallad “predator.m”.

37 A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt Verifiera numeriskt!Del 1. d) [t,x]=ode45(‘predator',[0,50],[ ]); plot(x(:,1),x(:,2)) 4 Anropa funktionen och lös numeriskt: Testa med olika värden på antalet vid start.

38 38 Verifiera numeriskt!Del 1. d)


Ladda ner ppt "Projekt 5.9 Lotka-Volterra: predator-bytes-modell A Course in Mathematical Modeling - Mooney & Swift."

Liknande presentationer


Google-annonser