Presentation laddar. Vänta.

Presentation laddar. Vänta.

Mål n Matematiska modeller n Biologi/Kemi n Datorer n muntlig presentation n skriftlig presentation n projektplanering.

Liknande presentationer


En presentation över ämnet: "Mål n Matematiska modeller n Biologi/Kemi n Datorer n muntlig presentation n skriftlig presentation n projektplanering."— Presentationens avskrift:

1 Mål n Matematiska modeller n Biologi/Kemi n Datorer n muntlig presentation n skriftlig presentation n projektplanering

2 Kursens uppläggning n Föreläsning n introduktion till projekt n eget arbete med projekt n skriftlig redovisning av projekt n muntlig presentation av projekt

3 n Uno Wennergren Beräkningsbiolog u Ekologisk odling u Hotade arter u Smittspridning u Djurskydd

4 Ämnen Följer kapitlen i boken n Grundläggande om modeller n Diskreta processer u Deterministiska modeller u Stokastiska modeller n Kontinuerliga processer u Deterministiska modeller u Stokastiska modeller

5 Metoder/Verktyg n Grafiska metoder - Cobweb n Kalkylblad - Excel n Programmering - Matlab n Matematisk analys

6 Metoder/Verktyg n Projektplanering n PowerPoint n Excel n Datorpresentation-OH projektor

7 Projekt n Gör projektplan, tidsdisposition n Problemformulering n Bestäm u typ av matematisk modell u vilka metoder/verktyg som behövs u hur modellen skall prövas och presenteras n Slutlig projektplan n Konstruera modell n Pröva modellen n Skriftlig redovisning n Förbered muntlig redovisning n Analysera projektet och dess planering

8 Grundläggande om modeller n En modell skall beskriva verkligheten n En matematisk modell använder ekvationer för att beskriva verkligheten n Två modell nivåer Dn/dt=rn(t) Komplexa verkligheten I Förenklad verklighet II Matematiska ekvationer

9 Diskreta Dynamiska system n Diskreta processer u händelser sker stegvis F perenner reproduktion (frö) 1 ggr/år n Kontinuerliga processer u händelser sker hela tiden F smågnagare reproduktion under hela året n perenners överlevnad? n insekters reproduktion? u i tempererade klimat?

10 Deterministiska modeller n Modellerna tar inte hänsyn till sannolikheter, parametrar är konstanta n Alla processer är densamma och enbart en specifik kedja av händelser n Resultatet är ‘förutsägbart’: ett värde n Stokastiska modeller innefattar sannolikheter n Resultatet är en mängd värden u en enskild process resulterar i en av dessa värden

11 Rekursiva Talföljder n Den ekvation som genom att utifrån ett antal föregående värden räkna ut ett nytt värde. Kan alltså vara utifrån hur många celler det fanns föregående infektion och hur många det fanns infektionen innan osv allt beroende på vad som skall beskrivas. Obs specifika steg

12 Rekursiva Talföljder n Allmän form x(n)=f(x(n-1),x(n-2),….) n ordningen på talföljden bestäms utifrån hur många steg som ingår i formeln x(n)=7x(n-5) är femte ordningens talföljd. n Hur många initialvärden behövs? n Antag enkel tillväxt x(n+1)=Rx(n)

13 Differensekvationer (talföljder) n Första ordningens f(x(n-1)) =x(n)-x(n-1) n jmf med derivata

14 Box diagram n Tillväxt u x(n)-x(n-1)=rx(n-1) u x(n+1)=x(n)(1+r) Population x rx tillväxt Population x bx födsel (1-s)x ‘dödslar’ i immigration

15 Matematisk analys n Enklaste linjära rekursiva talföljden x(n+1)=Rx(n) har lösningen n x(n)=R n x(0) växer exponentiellt för R>1 avtar exponentiellt för 0

16 Kalkylblad n Klick och dra n relativa adresser u =C1*B4 n absoluta adresser u =$C1*B5 u =$C$1*B5

17 Matematisk analys n Jämviktspunkter u är den stabil, eller instabil jmf med vågdal kontra toppen på en ‘kulle’, vart rullar kulan n Bestäm jämviktspunkter med att sätta alla u x(n+1)=Rx(n) +a ger

18 Matematisk analys n Jämviktspunkter u x(n+1)=Rx(n) +a ger obs initialvärde påverkar ej jämviktspunkten u jämviktspunkten är stabil om och endast om x n =f(x n-1 )

19 Cobweb Diagram n Grafisk metod för att bestäma jämviktspunkter y=x y x y=f(x) Stabil jämvikt y=f(x) är diskret linjär modell t ex x(n+1)=-0.5x(n)+4 blir y=-0.5x+4

20 Cobweb diagram n Startvärde x* n nästa steg är y=f(x) y=x y x x* y=f(x)

21 Cobweb diagram n Nästa tidsteg är x=y y=x y x y=f(x) x*

22 Cobweb diagram n Och då blir y=f(x) y=x y x y=f(x) x*

23 Cobweb diagram n Och sedan fortsätter detta, dvs nästa tidsteg är x=y y=x y x y=f(x) x*

24 Cobweb diagram n Och y blir då y=f(x) y=x y x y=f(x) x* Detta kan man fortsätta med. Om figuren stegar sig in mot punkten så är det en stabil jämvikt

25 Cobweb diagram n Om figuren stegar sig bort från jämviktspunkten så är jämvikten instabil y=x y x y=f(x) x*

26 Linjär rekursiv talföljd med konstanta koefficienter n Bestäm lösning, jmf med x(n)=R n x(0) n En linjär kombination av x(i) termer, t ex m st termer: I detta fallet en homogen ekvation eftersom högerledet är 0. Jmf med enklaste linjära homogena ekvationen: ax=0 n Bestäm rötterna till karakteristiska ekvationen, Matlab funktion r = roots(c)

27 karakteristiska ekvationen n Antag lösningen: Efter förenklingar: n Bestäm rötterna till karakteristiska ekvationen, Matlab funktion r = roots(c)

28 karakteristiska ekvationen n Bestäm rötterna till karakteristiska ekvationen, Matlab funktion r = roots(c) för x(n)-2x(n-1)+x(n-2)=0 » r=roots([ ]) r =

29 karakteristiska ekvationen n Rötterna till för x(n)-2x(n-1)+x(n-2)=0 » r=roots([ ]) r = n allmän lösning x(n)=C n - C n n partikulär lösning, vi vet att x(0)=0 och x(1)=1 ger att n C 1 +C 2 =0 och n 1= C C n C1=1/2, C2=-1/2

30 karakteristiska ekvationen n Rötterna till för x(n)-2x(n-1)+x(n-2)=0 x(n)=C n - C n C 1 =1/2, C 2 =-1/2 ger partikulär lösningen n x(n)=1/2( n n ) för stora n så dominerar första termen (har störst absolutvärde ) x(n)  1/2( n )

31 Begränsad populationstillväxt n enklaste antagandet : (förenklad verklighet) u när populationen är noll så sker ingen begränsning dvs max tillväxt R u när populationen är vid sin jämviktspopulation så är begränsning sådan att tillväxten är noll u Detta ger att kurvan för hur tillväxten beror av populationens storlek skall gå genom punkterna (0,R),(K,0)

32 Begränsad populationstillväxt u kurvan för hur tillväxten beror av populationens storlek skall gå genom punkterna (0,R),(K,0) Tillväxt r(x) population x K R Linjära modellen:

33 Tillväxt r(x) population x K R Linjära modellen: Eftersom x(n)-x(n-1)=r(x(n-1))x(n-1) eller bättre x(n+1)=x(n)(r(x(n))+1) med r(x) enligt ovan får vi att

34 I högerledet finns en kvadratisk term, x(n), alltså en icke linjär ekvation. För att bestämma jämviktspunkterna studerar vi Denna andragradsekvation har två jämviktspunkter, Bestäm karaktären hos jämviktspunkterna: Alltså pröva

35 Om obegränsad tillväxt, R, är större än eller lika med 2 så har populationen ingen stabil jämvikt och för höga R så uppträder kaos.

36 Reaktionskinetik A + B 2  p1 Differens ekvation: n p1(t+1)-p1(t)=k*A(t)*B(t) n A(t+1)-A(t)=-k*A(t)*B(t) n B(t+1)-B(t)=-k*A(t)*B(t) q1=A(t)+p1(t) är konstant q2=B(t)+p1(t) är konstant p1(t+1)-p1(t)= k*(q1-p1(t))*(q2-p1(t)) Koncentrationer k

37 Värd-parasit modell n Antaganden (förenklad verklighet): N-värdpopulationen tillväxer enligt begränsad tillväxt, logistisk ekvation Lägg till en term som representerar hur överlvnaden minskar med ökat antal parasiter

38 Värd-parasit modell n Värdpopulationens ekvation n Parasit populationen beror av sannolikheten att parasit och värd möts, t ex proportionell till mot produkten NP

39 Värd-parasit modell n System av ickelinjära differens ekvationer Studera jämvikter Lösningar (N,P): n (K,0) n (1/Q,R/C(1-1/(QK))) n (0,0)

40 n Kunskapstaxonomi fritt efter Benjamin Bloom n Fakta. Ange, räkna upp fakta, definiera begrepp. n Enkel begränsad kunskap. n Beskrivning. Innebörden av begrepp och fakta. Tolka, motivera, relatera till varandra. n Tillämpning. Vad är innehållet användbart till. Observera, beräkna, kalkylera, formulera, konstruera, lösa givna problem. n Analys. Bryta ner innehållet, dela upp, gruppera om, jämföra, generalisera se nya problem. n Syntes. Dra slutsatser, formulera regler, se samband också med annan kunskap, resonera, diskutera, skapa nytt. n Värdering. Avge omdömen, kritisera, värdera olika kunskap, hypoteser och teorier mot varandra. n Komplex, vidsträckt kunskap.


Ladda ner ppt "Mål n Matematiska modeller n Biologi/Kemi n Datorer n muntlig presentation n skriftlig presentation n projektplanering."

Liknande presentationer


Google-annonser