Presentation laddar. Vänta.

Presentation laddar. Vänta.

Flerpartikelsystem Kapitel 10 (avsnitt 10.1-4) Masscentrum Newtons 1:a lag (flerpartikelsystem) Newtons 2:a lag (flerpartikelsystem) Kinetisk energi (flerpartikelsystem)

Liknande presentationer


En presentation över ämnet: "Flerpartikelsystem Kapitel 10 (avsnitt 10.1-4) Masscentrum Newtons 1:a lag (flerpartikelsystem) Newtons 2:a lag (flerpartikelsystem) Kinetisk energi (flerpartikelsystem)"— Presentationens avskrift:

1 Flerpartikelsystem Kapitel 10 (avsnitt ) Masscentrum Newtons 1:a lag (flerpartikelsystem) Newtons 2:a lag (flerpartikelsystem) Kinetisk energi (flerpartikelsystem)

2 Masscentrum Fram tills nu har vi behandlat alla våra objekt som punktpartiklar. Det vill säga vi har inte brytt oss om hur de är utformade. I vissa fall är det enkelt att beskriva rörelsen hos ett objekt, exempelvis en boll, men för att beskriva rörelsen hos en klubba är det inte lika enkelt. I det här fallet måste man behandla klubban som ett flerpartikelsystem, där varje del av klubban har en annan rörelsemönster än de andra delarna. Lyckligtvis finns det en speciell punkt i klubban vars rörlse kan beskrivas med de rörelseekvationerna som vi känner till. Denna punkt kallas för masscentrum. Masscentrum hos ett flerpartikelsystem är den punkt som om (a) hela systemets massa är koncentrerad där (b) alla externa krafter verkar där.

3 Vi börjar med det enklaste fallet där vi har två partiklar med massorna m 1 och m 2 och som befinner sig på positionerna x 1 respektive x 2. s 1 och s 2 är avtånden som beskriver partiklarnas positioner relativt masscentrumets possition x CM. Från jämviktförhållandet: m 1 s 1 = m 2 s 2, kan vi få ett uttryck för x CM. m 1 (x CM – x 1 ) = m 2 (x 2 –x CM ) m 1 x CM – m 1 x 1 = m 2 x 2 –m 2 x CM x CM = (m 1 x 1 + m 2 x 2 )/(m 1 + m 2 ) (i) Detta var definitionen av masscentrumets position för tvåpartikelsystem i en dimension. För ett system med n partiklar och total massa M, kan (i) skrivas som: (ii) I tre dimensioner uttrycks masscentrumets koordinater enligt följande: (iii) Lägesvektorn för masscentrum i tredimensioner blir därför: r CM = x CM i + y CM j + z CM k(iv) Från relationerna (iii) och (iv) kan vi nu ge ett uttryck för masscentrumets läge i vektorform.

4 Masscentrum hos kroppar Om vi nu skulle vilja bestämma en kropps masscentrum så skulle vi nog inte vilja summera över varje atom i i kroppen. Om vi skulle kunna beskriva formen på en kropp matematiskt så kan vi med hjälp av integraler bestämma kroppens masscentrum. Det allmänna uttrycket för masscentrumets läge blir: dm r dm är en masselement av kroppen som befinner sig på position r. Känner man till kroppens densitet  så kan man uttrycka dm som: dm =  dxdydz och på så sätt lösa integralen. Men vi ska inte ge oss in på att lösa integraler av flervariabler, utan vi ska hålla oss till de fall där vi kan använda oss av en variabel i integrationen. Sådana fall uppstår när man har symmetriska föremål. Ett exempel på ett sådant fall (se figur) är en kon. Konen ser identisk ut på xy planet som på xz planet. z y x x

5 Bestämning av en kons masscentrum Vi har en massiv kons vars masscentrum vi vill bestämma. Vi känner till konens höjd h, semivinkeln  och konens densitet . Vi börjar först med att bestämma konens massa M. Från figuren kan vi se att radien (y) hos konen ges av xtan . Om vi tittar på en tunn skiva med tjockleken dx på avståndet x från konens spets, så kan vi få dess massa dm: dm =  x 2 tan 2  dx, integrerar vi denna funktion från x=0 till x=h får vi konens massa M: htan  h x y xtan  dm =  x 2 tan 2  dx Om vi placerar konen längs x-axeln med spetsen på origo så vet vi att (på grund av symmetrin) maccentrumets läge för y och z koordinaten är lika med noll. Det återstår bara att bestämma masscentrumets läge längs x-koordinaten x CM.

6 Bestämning av masscentrum hos en böjd stång Vi har en massiv stång som är böjd till en halvcirkel med radien R. Stången har en linjär densitet (vanligt att man ger densitet i massa/längd när man har en konstant tvärssnitt) och vi vill bestämma dess masscentrum. Här är det lämpligt att vi uttrycker masselementen dm i term av  (i radianer) och radien R.  dd R y x dm = Rd  Stången är symmetrisk kring x axeln, så vi behöver endast bestämma masscentrumen längs y- axeln. y-koordinatens position ges av Rsin , och masselementen dm ges av Rd . Stångens massa M fås ur: M = R  Vi kan nu bestämma y CM genom att integrera från  = 0 till  = 

7 Exempel Lokalisera masscentrum för ett system med tre partiklar utspridda enligt figuren. m 1 = 0.5 kg m 3 = 2 kg m 2 = 1.5 kg x y 2 1

8 Exempel En kvadrat med sidorna 2R har ett hål med radien R/2. Hålets läge relativt kvadratens mittpunkt är (R/2, R/2) se figur. Lokalisera läget för masscentrum relativ kvadratens mittpunkt. Anta att kvadraten har ytdensitet . 2R

9 Exempel Lokalisera masscentrum för en tunn tråd som formar en kvartscirkel med radien R. Tråden har en linjär densitet  R

10 Gör det själv Tre sidor av en kub med sidolängden L tas bort enligt figuren. Lokalisera läget för masscentrum. z x y L

11 Newtons 1:a lag (flerpartikelsystem) Varför behöver vi känna till masscentrum? Detta kommer och blir tydligt under detta avsnitt. Vi börjar med att ge ett uttryck för masscentrumets hastighet genom att derivera masscentrumets läge med avseende på tiden. Den totala rörelsemängden P kan därför skrivas som: Ur detta samband får vi slutsatsen: Den totala rörelsemängden hos ett flerpartikelsystem motsvarar en enda imaginär partikel med massan M (M =  m i ) och hastighet v CM.

12 Newtons 2:a lag (flerpartikelsystem) Vi kan uttrycka kraftekvationen F = ma, genom att derivera masscentrumhastigheten med avseende på tiden, dvs: F = Md(v CM )/dt = Ma CM.(i) I ett isolerat system så vet vi att summan av alla interna krafter är lika med noll. Med andra ord om (i) är skilld från noll så är F lika med summan av alla externa krafter som påverkar en punkt (masscentrum) med accelerationen a MC och massan M. F ext = Ma CM. Eller så kan man använda Newtons andra lag: F ext = dP/dt. DVS: Ändringen av den totala rörelsemängden hos ett flerpartikelsystem är lika med summan av alla externa krafter. I ett isolerat system är F ext = 0, så från relation (i) ser vi att v CM måste vara konstant.

13 Exempel En partikel med massan m 1 = 2 kg har positionen r 1 = 2i +3j m och hastigheten v 1 = -i + 5j m/s, medan en annan partikel med massan m 2 = 5 kg och positionen r 2 = -5i + j m, har hastigheten v 2 = 3i -4j m/s. Bestäm (a) r CM (b) v CM (c) den totala rörelsemängden P (d) Läget för masscentrum 2 s senare, i frånvaro av externa krafter.

14 Exempel Ett 6 kg objekt skjuts iväg från en höjd på 100 m. Start hastigheten är 50 m/s och riktningen är 53˚ relativt marken. Vid ett tillfälle exploderar objektet i två fragment. 4 kg fragmenten slå i marken 200 meter längre bort från starten. Bestäm var den andra fragmentent slår i marken, utgå från att både fragmenten slår i marken samtidigt. Räkna med g = 10 m/s 2.

15 Exempel Ett objekt med massan m 1 = 1 kg befinner sig i origo vid tiden t = 0 s, och rör sig med en hastighet på 2i m/s. Objektet påverkas av en kraft F 1 = 10j N. Ett annat objekt med massan m 2 =2 kg befinner sig på x = 10 m vid tiden t = 0 s, och rör sig med en hastighet på 4j m/s. Det objektet påverkas av en kraft F 2 = 8i N. Bestäm (a) positionen och hastigheten för masscentrum vid t = 0 s (b) objekternas individuella acceleration (c) accelerationen hos masscentrum (d) bekräfta (c) med kraftekvationen för masscentrum (e) var befinner sig masscentrummet vid t = 2 s.

16 Exempel Två klossar med massorna m och 2m hålls samman av en komprimerad fjäder på insidan av en låda med längden 4L och massan 3m. Lådans mittpunkt befinner sig i läge x = 0. När fjädern släpps kommer både klossarna att befinna sig på avståndet L från lådans ändar i det ögonblicket de förlorar sina kontakter med fjädern. Visa att lådans position skiftas med L/6 efter att klossarna kolliderat och fastnat på lådans ändsidor. Alla ytor är friktionsfria. m 2m LLLL x = 0

17 Gör det själv En person med massan 75 kg befinner sig på ena ändan av en 4 m lång och 25 kg tung likformig plattform som är stillastående och vilar på ett friktionsfritt underlag. Personen börjar röra sig mot andra änden av plattformen med en hastighet på 2 m/s relativt platformen. Bestäm (a) systemets masscentrum relativt personen (b) Plattformens hastighet (relativt marken) när personen rör sig mot andra änden (c) plattformens förflyttningssträcka när personen når den andra änden.

18 Kinetisk energi (flerpartikelsystem) Låt oss titta på ett flerpartikelsystem från en observationspunkt O. Lägesvektorerna r i, r CM och r i ’ anger lägen för partikeln m i, flerpartikelsystemets masscentrum och partikel m i läge relativt masscentrum. Vi kan därför beskriva läget för partikeln m i : r i = r CM + r i ’(i) Derivatan av r i med avseende på tiden ger hastigheterna i relation (i): * mimi r CM riri ri’ri’ O v i = v CM + v i ’(ii) Från (ii) kan vi uttrycka kinetiska energin för m i som: K i = ½m i v i 2 = ½m i (v CM 2 + v i ’ 2 + 2v CM v i ’)(iii) Den totala kinetiska energin för alla partiklarna blir: K =  K i = ½(  m i )v CM 2 + ½  m i v i ’ 2 ) + 2v CM  m i v i ’) (iv)  m i v i ’) i relation (iv) är partiklarnas totala rörelsemängden relativ masscentrum, dvs Mv CM ’. v CM ’är hastigheten hos masscentrum relativt masscentrum vilket är noll och (iv) kan därför skrivas som: K = ½(  m i )v CM 2 + ½  m i v i ’ 2 ) = K CM + K rel K CM är kinetiska energin hos masscentrum och K rel är partiklarnas kinetiska energin relativt masscentrum. K = K CM + K rel

19 Exempel En boll med massan 1.5 kg rör sig med en hastighet på 4 m/s österut. En annan boll med massan 2.5 kg har hastigheten 8 m/s och rör sig västerut. Bestäm (a) masscentrums hastighet (b) K CM och K rel.

20 Exempel En partikel med massan m 1 = 5 kg rör sig med hastigheten 4j m/s. Partikeln kolliderar elastiskt med en annan partikel som befinner sig i vila och har massan m 2 = 3 kg. Bestäm K CM och K rel.

21 Gör det själv Bestäm den kinetiska energin K CM och K rel när (a) en 5 kg kropp med hastigheten 12 m/s, kolliderar med en stillastående kropp med massan 1 kg (b) en 1 kg kropp med hastigheten 12 m/s, kolliderar med en stillastående kropp med massan 5 kg.


Ladda ner ppt "Flerpartikelsystem Kapitel 10 (avsnitt 10.1-4) Masscentrum Newtons 1:a lag (flerpartikelsystem) Newtons 2:a lag (flerpartikelsystem) Kinetisk energi (flerpartikelsystem)"

Liknande presentationer


Google-annonser