Presentation laddar. Vänta.

Presentation laddar. Vänta.

2005-09-13Fysikexperiment, 5p1 Resultatet av en mätning skrivs normalt (bestämning av tyngdaccelerationen g): Är det ett bra eller dåligt värde? Låt oss.

Liknande presentationer


En presentation över ämnet: "2005-09-13Fysikexperiment, 5p1 Resultatet av en mätning skrivs normalt (bestämning av tyngdaccelerationen g): Är det ett bra eller dåligt värde? Låt oss."— Presentationens avskrift:

1 Fysikexperiment, 5p1 Resultatet av en mätning skrivs normalt (bestämning av tyngdaccelerationen g): Är det ett bra eller dåligt värde? Låt oss jämföra med det ”sanna värdet” g norm genom att introducera variabeln t: Variabeln t anger antalet standardavvikelser från det nominella värdet. Med hjälp av tabellen i Appendix A i läroboken kan vi bestämma: Konsultera även figur 5.13 i läroboken på sidan 136. Exempel: g norm =9,818 m/s 2 Om g mätt = 9,748  0,15 blir t = |9,748-9,818|/0,15 = 0,47 och S U = 63,8% Godtagbart! Om g mätt = 9,748  0,03 blir t = |9,748-9,818|/0,03 = 2,3 och S U = 2,1% Endast 2% sannolikt att det mätta värdet härrör från en fördelning med medelvärdet g norm. Denna mätning innehåller sannolikt ett systematiskt fel eller så är felen underskattade. Vi skall återkomma till detta problem i nästa lektion. Ett godkänt mätvärde!?

2 Fysikexperiment, 5p2 Historiska data - bestämning av G (viktade medelvärden) Tabellen till höger visar resultaten från olika bestämningar av gravitationskons- tanten G. Bestäm- ningen har skett med flera olika metoder och under lång tid. Källa: org/setterfield/report.html

3 Fysikexperiment, 5p3 Viktad anpassning till G G ur föregående tabell (utom de som är markerade med #) plottade på en tidsaxel. Vi noterar mätvärden med stora fel och flera med mycket små fel. Det beräknade felet i det viktade medelvärdet är för litet med hänsyn till hur data sprids kring medelvärdet. Oviktat medelvärde med medel- värdesfel kan beräknas till 6,658  0,011 med ett mer rimligt fel (vi tar då på sätt och vis då även hänsyn till (eventuella) systematiska fel i mätningarna).

4 Fysikexperiment, 5p4 Med reducerad statistik I Här har vi tagit bort mätningar med stora fel. Det beräknade felet i det viktade medelvärdet är även här för litet med Hänsyn till hur data sprids kring medelvärdet. Oviktat medelvärde med medel- värdesfel kan beräknas till 6,6701  0,0029

5 Fysikexperiment, 5p5 Med reducerad statistik II Här har vi tagit bort mätningar med mycket små fel som låg långt från medelvärdet (systematiska fel?). En generell metod för detta anges lite längre fram. Det beräknade felet i det viktade medelvärdet är även här litet och synes ge ett för litet fel. Det oviktade medelvärde med medelvärdesfel kan beräknas till 6,6743  0,0076 eller avrundat 6,674  0,008 ett värde som ligger mycket nära det nominella.

6 Fysikexperiment, 5p6 Volymen är: Felfortplantning igen För att beräkna volymen av en cylinder utförs följande mätningar av höjden h och diametern d: h (cm) d (cm) 4,65 12,25 4,61 12,26 4,68 12,32 4,65 12,30 4,67 12,22 4,69 12,21 4,64 12,35 4,66 12,31 4,67 12,29 Genom felfortplantning erhålls volymens standardavvikelse: Medelvärdets standardavvikelse blir:

7 Fysikexperiment, 5p7 1.Hur beräknades V? Jo så här: (observera att medelvärdena används här). 2.Vi skulle lika gärna kunna gå direkt på formeln: eftersom faktorn  (N-1) är gemensam för termerna i vänstra och högra ledet. Två viktiga kommentarer:

8 Fysikexperiment, 5p8 Alternativ metod ”Nackdelen” med metoden på föregående sida är att vi måste beräkna två medel- värden och två varianser och felen för att sedan applicera felfortplantningsformeln. Ett liknande resultat erhålles genom att först beräkna volymen för de nio mätnin- garna och sedan bestämma felet utifrån spridningen. Se tabellen till höger  Vi ser att felet blir något mindre, vi får V=(551,6 ± 1,5)·10 -6 m 3. Vad är då rätt? Denna metod ger rätt feluppskattning! Felfortplantningsformeln på föregående sida måste ibland *) kompletteras med en extra term för att ge rätt svar!

9 Fysikexperiment, 5p9 Grundläggande felanalys zFöljande begrepp skall nu vara bekanta: yMedelvärde yStandardavvikelse yMedelvärdets standardavvikelse yRelativa fel yAvvikelse (för ett mätvärde) yRelativ avvikelse (för ett mätvärde) yDiskrepans (avvikelsen mellan två värden av samma storhet) yFelpropagering (leder ofta till en relation mellan relativa fel) yViktat medelvärde yFelet i det viktade medelvärdet

10 Fysikexperiment, 5p10 Funktionsanpassning Många gånger finns det ett funktions- samband mellan två mätta variabler. Ett exempel är sambandet mellan fall- höjden och falltiden för fallande kroppar i gravitationsfältet. Falltid (t) Fallsträcka (S) Sannolikheten för just dessa mätdata kan (analogt med det tidigare) allmänt skrivas som: Om alla  i =  y = konstant

11 Fysikexperiment, 5p11 Anpassning av rät linje Vår funktion i detta fall är: Sannolikheten för en mätserie då alla mätningar har samma fel: Vi maximerar sannolikheten genom att sätta derivatorna = 0:

12 Fysikexperiment, 5p12 Linjär anpassning (forts) Det bästa estimaten av parametrarna a och b ges av (minsta kvadratmetoden): Felen i de enskilda mätningarna: Felen i parametrarna:

13 Fysikexperiment, 5p13 Viktad linjär anpassning även kallad viktad minsta kvadratmetoden Weigthed Least-Square Fits (olika  y )

14 Fysikexperiment, 5p14 Exempel - Resistansmätning Resistansen R definieras genom det linjära sambandet U=RI mellan spänningen U och strömmen I.

15 Fysikexperiment, 5p15 Resistansmätning - analys Vi kan beräkna resistansen på flera olika sätt. a) Vi beräknar ett medelvärde av R och tar variansen som ett mått på felet. Vi får: 464,25+-0,76 b) Vi beräknar ett viktat medelvärde av alla beräknade resistansen. Detta ger: 464,63+-0,54 c) Vi kan beräkna en trendlinje (utan fel) ala excel och får R = 465,42 d) Vi gör en viktad minsta kvadratanpassning till data med felen i U (obs att felen i I inte kommer med här). Vi får: 465,44+-0,26 e) Vi tar även hänsyn till felen i I och beräknar ekvivalenta fel (se nedan). Detta ger: 465,34+-0,72

16 Fysikexperiment, 5p16 Vi har fuskat lite! När vi beräknade medelvärdet av R använde vi: medan metoden med anpassning till en rät linje bara tog hänsyn till osäkerheten i U vilket rimligen ger en underskattning av osäkerheten. Ekvivalenta fel!

17 Fysikexperiment, 5p17 Ekvivalenta fel (forts.) Osäkerheten  x svarar mot en ”ekvivalent” osäkerhet i y som ges av  y ekv  b  x xx b  x Detta förutsätter kunskap om b, så vi får först göra en preliminär anpassning som ger oss ett preliminärt värde på b. Detta sätter vi sedan in för att beräkna y ekv

18 Fysikexperiment, 5p18 Bestämning av g mha pendel Låt oss se på data tagna av Jari och Stefan (2003): Hur skall vi analysera dessa data på bästa sätt?

19 Fysikexperiment, 5p19 Bestämning av g - Metod A För varje vinkelutslag har medelvärdet av g och medelvärdesfelet av g räknats ut. Vi noterar att g ökar med minskat g och tar detta som utgångspunkt för en linjär anpassning av g som funktion av utslagsvinkeln (formeln gäller idealt endast för vinkeln 0).

20 Fysikexperiment, 5p20 Bestämning av g - Metod A Resultatet av en viktad minsta kvadratanpassning g = 9,814 ± 0,063 m/s 2 Men … vi har inte tagit hänsyn till osäkerheten i L ännu! Relativa felet i L är 2/785 vilket skulle kunna skjuta kurvan uppåt eller nedåt med beloppet 0,025 m/s 2. Vi anger således det slutliga värdet som: g = 9,814 ± 0,063 (stat.) ± 0,025 (syst.) m/s 2 eller g = 9,814 ± 0,068 m/s 2

21 Fysikexperiment, 5p21 Bestämning av g - Metod B Låt oss betrakta de 15 g-värdena igen …... och beräkna med hjälp av felfortplantningsformeln felen i varje värde Men! Nu uppstår ett nytt problem - vad skall vi välja som fel i tiderna? Låt oss välja den uträknade standardavvikelsen (0,00812 s). Felen i g:

22 Fysikexperiment, 5p22 Bestämning av g - Metod B Vi skall nu använda formlerna för viktat medelvärde: där Insättning av siffrorna från de två föregående tabellerna ger oss g = 9,796 ± 0,024 m/s² Obs! Denna metod förutsätter att felet i L är statistiskt vilket naturligtvis inte är fallet här. Felet i g är alltså här underskattat! Lägger vi till felet från L får vi totalt 0,035 m/s²

23 Fysikexperiment, 5p23 Bestämning av g - Metod C Här beräknar vi helt enkelt medelvärdet av g i föregående tabell med standardavvikelsen och medelvärdesfelet: g = 9,798 ± 0,023 m/s² Liksom i metod A adderar vi nu kvadratiskt det systematiska felet från osäkerheten i L och får g = 9,798 ± 0,034 m/s² Samanfattning: Metod A:g = 9,814 ± 0,068 m/s 2 Metod B:g = 9,796 ± 0,035 m/s² Metod C:g = 9,798 ± 0,034 m/s²

24 Fysikexperiment, 5p24 Bestämning av g - Mer data Metod A är tveksam då mycket lite tyder på att data kan extrapoleras med någon vidare säkerhet med så stora fel på de individuella mät- ningarna. Jari och Stefans data innefattar en andra omgång med data som är erhållna med L = 80,2 ± 0,2 m. Nedan visar vi alla g-värden. g = 9,781 ± 0,019 m/s² Och om vi inkl. syst. fel i L: g = 9,781 ± 0,031 m/s² ett resultat som ligger nära Metod C.

25 Fysikexperiment, 5p25 Viktad anpassning - EXCEL Med denna uppställning kan man även räkna för hand om antalet punkter inte är för stort.


Ladda ner ppt "2005-09-13Fysikexperiment, 5p1 Resultatet av en mätning skrivs normalt (bestämning av tyngdaccelerationen g): Är det ett bra eller dåligt värde? Låt oss."

Liknande presentationer


Google-annonser