Kurvor, derivator och integraler

En presentation över ämnet: "Kurvor, derivator och integraler"— Presentationens avskrift:

1 Kurvor, derivator och integraler

2 GENOMGÅNG 3.1

3 Växande och avtagande

4 Första och andra derivata
Andra derivatans nollställe Första derivatans nollställen

5 Teckentabell

6 Teckentabell

7 Teckentabell Extremvärden 5 -3 3 -3 5 -3 + - +

8 Vi tar hjälp av DESMOS

9 Exempeluppgift Vilka värden kan x anta?

10 Exempeluppgift Vilka värden kan x anta?

11 Exempeluppgift Vilka värden kan x anta?

12 Exempeluppgift Vilka värden kan x anta?

13 Exempeluppgift Vilken är den maximala arean?

14 Exempeluppgift ?

15 Exempeluppgift Vilken är den maximala arean?

16 Exempeluppgift Svar: Största arean får vi där x = 9 och den är 162 ae.

17 Exempeluppgift - kontroll

18 Maximal area Punkten P ligger på den räta linjen. Tillsammans med de positiva koordinataxlarna bestämmer punkten P en rektangel. När punkten P flyttas längs med linjen kommer rektangelns höjd och bredd att förändras. Bestäm rektangelns maximala area.

19 Maximal area Hur får vi fram denna?

20 Maximal area Rektangelns maximala area är 13,5 ae.

21 Maximal area Lösning 2 Rektangelns maximala area är 13,5 ae.

22 Maximal area - övning Punkten P ligger på den räta linjen. Tillsammans med de positiva koordinataxlarna bestämmer punkten P en rektangel. När punkten P flyttas längs med linjen kommer rektangelns höjd och bredd att förändras. Bestäm rektangelns maximala area. P

23 Maximal area - övning Svar: Den maximala arean är 32 ae.
Punkten P ligger på den räta linjen. Tillsammans med de positiva koordinataxlarna bestämmer punkten P en rektangel. När punkten P flyttas längs med linjen kommer rektangelns höjd och bredd att förändras. Bestäm rektangelns maximala area. P Svar: Den maximala arean är 32 ae.

24 Maximal area - övning Svar: Den maximala arean är 32 ae.
Punkten P ligger på den räta linjen. Tillsammans med de positiva koordinataxlarna bestämmer punkten P en rektangel. När punkten P flyttas längs med linjen kommer rektangelns höjd och bredd att förändras. Bestäm rektangelns maximala area. P Svar: Den maximala arean är 32 ae.

25 Maximal area - övning

26 Exempeluppgift Bestäm det största och det minsta värdet som
antar i intervallet 1. Vi börjar med att derivera f(x) 2. Vi sätter f´(x) = 0 PQ-formeln ger oss

27 Exempeluppgift Kan vi vara säkra på detta? Nej! Varför inte det?
Bestäm det största och det minsta värdet som antar i intervallet 3. Vi sätter in våra x-värden i f(x) 4 × 25^ × 25^ × 25 = 4 × 40^ × 40^ × 40 = Största värde: ?? Minsta värde: ?? Kan vi vara säkra på detta? Nej! Varför inte det?

28 Exempeluppgift Största värde: 125 000 Minsta värde: 112 000
Bestäm det största och det minsta värdet som antar i intervallet Största värde: Minsta värde: OBS! 4 × 18^ × 18^ × 18 = 4 × 25^ × 25^ × 25 = 4 × 40^ × 40^ × 40 = 4 × 50^ × 50^ × 50 =

29 Exempeluppgift Bestäm det största och det minsta värdet som
antar i intervallet 4 × 18^ × 18^ × 18 = 4 × 25^ × 25^ × 25 = 4 × 40^ × 40^ × 40 = 4 × 50^ × 50^ × 50 = Kommentar: För att vara säker på att vi har största respektive lägsta värde i det givna intervallet måste vi sätta in dels de båda x-värdena som derivatans nollställen ger, dels de båda x-värdena som ges av intervallet yttervärden.

30 Exempeluppgift Bestäm det största och det minsta värdet som
antar i intervallet 4 × 18^ × 18^ × 18 = 4 × 25^ × 25^ × 25 = 4 × 40^ × 40^ × 40 = 4 × 50^ × 50^ × 50 =

31 Andraderivatan och grafen
GENOMGÅNG 3.2 Polynomfunktioner Andraderivatan Andraderivatan och grafen

32 Polynomfunktioner

33 Polynomfunktioner

34 Polynomfunktioner

35 Polynomfunktioner A Rektangeln i figuren har sidorna 16 cm och 12 cm.
Denna uppgift skall leda fram till att vi tar reda på det värde på x som ger minsta möjliga värde på arean A. Uppgift 3212, sidan 149 (151)

36 Polynomfunktioner A Rektangeln i figuren har sidorna 16 cm och 12 cm.
Bestäm arean (A) av den grå triangeln som en funktion av x.

37 Polynomfunktioner I A III II Bestäm arean (A) av den grå triangeln som en funktion av x. Jag inför beteckningar för de 3 vita trianglarna: I: II: III:

38 Polynomfunktioner A I: II: III: Arean (A) av den grå triangeln: I III

39 Polynomfunktioner A I: II: III: Definitionsmängden för arean (A) är:
Variabeln x måste ligga mellan 0 och 8. Varför?

40 Polynomfunktioner I A III II För vilket värde på x blir den grå triangelarean den minsta möjliga? Börja med att derivera A! Svar: När x = 6 så har den grå arean minsta möjliga värde.

41 Polynomfunktioner A Kontrollerar med graf: I III II Definitionsmängd
Minsta area x-värde vid minsta area Största area?? Uppgift 3212, sidan 149 (151)

42 Polynomfunktioner 1 ) …………………………………………….. 2 ) ……………………………………………..
Denna uppgift skall leda fram till att vi tar reda på det värde på x som ger minsta möjliga värde på arean A. Hur skall vi göra detta? A 1 ) …………………………………………….. 2 ) …………………………………………….. 3 ) …………………………………………….. 4 ) …………………………………………….. 5 ) ……………………………………………..

43 Andraderivatan

44 Andraderivatan

45 Andraderivatan

46 Andraderivatan

47 Andraderivatan och grafen

48 Andraderivatan och grafen

49 Andraderivatan och grafen

50 Andraderivatan och grafen
Länk till DESMOS [C:a 10 minuter]

51 Andraderivatan och grafen

52 Andraderivatan och grafen

53 GENOMGÅNG 3.3 Primitiva funktioner Primitiva funktioner med villkor

54 FRÅN TEXT-TV (SVT) Hur stor har den årliga procentuella minskningen av livsmedelsbutiker varit i Sverige sedan 1996? Antal butiker 1996: 7400 st Antal butiker 2013: 5400 st

55 FRÅN TEXT-TV (SVT) Varifrån kom talet 17?
Hur stor har den årliga procentuella minskningen av livsmedelsbutiker varit i Sverige sedan 1996? Antal butiker 1996: 7400 st Antal butiker 2013: 5400 st Formel: Varifrån kom talet 17?

56 FRÅN TEXT-TV (SVT) Hur stor har den årliga procentuella minskningen av livsmedelsbutiker varit i Sverige sedan 1996?

57 FRÅN TEXT-TV (SVT) Hur stor har den årliga procentuella minskningen av livsmedelsbutiker varit i Sverige sedan 1996? (5400/7400)^(1/17) ≈ 0, … Hur skall vi svara?

58 FRÅN TEXT-TV (SVT) Hur stor har den årliga procentuella minskningen av livsmedelsbutiker varit i Sverige sedan 1996? Svar: Den årliga procentuella minskningen av livsmedelsbutiker i Sverige har varit c:a 2% mellan åren 1996 och 2013.

59 Primitiva funktioner

60 Primitiva funktioner

61 Primitiva funktioner

62 Primitiva funktioner

63 Primitiva funktioner Den sökta funktionen:

64 Primitiva funktioner Vilken grad skall funktionen ha?
Vad skall (-1) multipliceras med för att det skall bli 1?

65 Primitiva funktioner Den sökta funktionen:

66 GENOMGÅNG 3.4 Integraler Integralberäkning med primitiv funktion
Tillämpningar och problemlösningar

67 Integraler OBS! Uppgift 3401!

68 Integraler

69 Integraler Integrand Övre integrationsgräns Integraltecken
Undre integrationsgräns Integrationsvariabel

70 Integraler OBS! 0,2

71 Integraler

72 Integraler

73 Integraler

74 Hur lutar grafen ? Hur lutar grafen i den punkt där x = 2?

75 Hur lutar grafen? Hur lutar grafen i den punkt där x = -1?

76 Hur lutar grafen? Hur stor är integralen mellan x = 1 och x = 2?

77 Integral/area Hur stor är arean mellan grafen och den positiva x-axeln? Hur stor är integralen mellan x = - 1 och x = 1? Hur stor är integralen från x = - 1 och x = 5? Hur stor är den samman- lagda arean mellan grafen och x-axeln från x = - 1 till och med x = 5? -(x+1)(x-1)(x-5) SVAR: (128/3) c:a 42,67 -(20/3) c:a 6,67 36 (148/3) c:a 49,33

78 Lutning/tangent Hur lutar grafen i den punkt där x = 2?
Vilken ekvation har tangenten till grafen i den punkt där x = 2? Rita in den räta linje som tangerar grafen i den punkt där x = 2? -(x+1)(x-1)(x-5) SVAR: (128/3) c:a 42,67 -(20/3) c:a 6,67 36 (148/3) c:a 49,33

79 NpMa3c Muntligt delprov – Del A ht 2012

80 NpMa3c Muntligt delprov – Del A ht 2012

81 NpMa3c Muntligt delprov – Del A ht 2012

82 NpMa3c Muntligt delprov – Del A ht 2012